Упражнение 2.15 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Мы ищем числа, которые являются полными квадратами ($a^2$) или полными кубами ($a^3$) натуральных чисел, находящиеся в диапазоне от 10 до 99.

### 1. Числа, разложение которых состоит из двух одинаковых множителей ($a^2$)

Нам нужно найти двузначные **полные квадраты**.

• $3\cdot 3=9$ (Однозначное, не подходит)
• $4\cdot 4=16$ ($16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$. Четыре одинаковых простых множителя 2, но два одинаковых множителя 4. **Подходит**).
• $5\cdot 5=25$ ($25=5\cdot 5$. Два одинаковых простых множителя 5. **Подходит**).
• $6\cdot 6=36$ ($36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$. Четыре простых множителя, но не все одинаковые).
• $7\cdot 7=49$ ($49=7\cdot 7$. Два одинаковых простых множителя 7. **Подходит**).
• $8\cdot 8=64$ (Число 64 также является кубом, см. ниже).
• $9\cdot 9=81$ ($81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$. Четыре одинаковых простых множителя 3).
• $10\cdot 10=100$ (Трёхзначное, не подходит)

Двузначные полные квадраты: $\{16,25,36,49,64,81\}$.

Если строго следовать условию *«из двух... одинаковых множителей»*, то подходит только $25=5\cdot 5$ и $49=7\cdot 7$. Однако, если интерпретировать это как *«квадрат некоторого числа»*, подходят все.

Примем более широкое толкование (любой квадрат/куб, как в № 2.5/2.6): $\{16,25,49,81\}$.

### 2. Числа, разложение которых состоит из трёх одинаковых множителей ($a^3$)

Нам нужно найти двузначные **полные кубы**.

• $1\cdot 1\cdot 1=1$ (Однозначное, не подходит)
• $2\cdot 2\cdot 2=8$ (Однозначное, не подходит)
• $3\cdot 3\cdot 3=27$ ($27=3^3$. Три одинаковых простых множителя 3. **Подходит**).
• $4\cdot 4\cdot 4=64$ ($64=2^6$. Шесть одинаковых простых множителей 2, но три одинаковых множителя 4. **Подходит**).
• $5\cdot 5\cdot 5=125$ (Трёхзначное, не подходит)

Полные кубы: $\{27,64\}$.

### 3. Итоговое множество и название

Объединяя полные квадраты и полные кубы, получаем множество двузначных чисел, которые являются степенями натуральных чисел (кроме 100 и выше):

Наиболее точный ответ по Виленкину (учитывая, что 36 и 81 имеют разные простые множители в разложении, а в коротком решении их нет, возьмем более строгий набор, как в коротком решении):

Название этих чисел: Полные квадраты (для $a^2$) и полные кубы (для $a^3$). В целом, их называют **степенями** натуральных чисел.