Упражнение 2.240 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Основа доказательства: Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями (

\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}

) сводит сложение дробей к сложению их числителей. Числители (

a

b

c

) — это натуральные числа. Для натуральных чисел переместительное (

a + b = b + a

) и сочетательное (

(a + b) + c = a + (b + c)

) свойства уже известны.

1. Доказательство переместительного свойства ( $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}$ )

1. Возьмем левую часть равенства и применим правило сложения дробей:

\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n}

2. Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, для их суммы $a + b$ в числителе действует переместительное свойство натуральных чисел: $a + b = b + a$ .

\frac{a + b}{n} = \frac{b + a}{n}

3. Применим правило сложения дробей в обратном порядке:

\frac{b + a}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}

4. Мы получили: $\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{b}{n} + \frac{a}{n}$ . Свойство доказано.

2. Доказательство сочетательного свойства ( $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) + \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} + \frac{c}{n})$ )

1. Возьмем левую часть равенства и последовательно применим правило сложения дробей:

(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) + \frac{c}{n} = \frac{a + b}{n} + \frac{c}{n} = \frac{( a + b ) + c}{n}

2. Так как $a, b, c$ — натуральные числа, для их суммы в числителе действует сочетательное свойство натуральных чисел: $(a + b) + c = a + (b + c)$ .

\frac{( a + b ) + c}{n} = \frac{a + ( b + c )}{n}

3. Применим правило сложения дробей в обратном порядке (разбиваем числитель):

\frac{a + ( b + c )}{n} = \frac{a}{n} + \frac{b + c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} + \frac{c}{n})

4. Мы получили: $(\frac{a}{n} + \frac{b}{n}) + \frac{c}{n} = \frac{a}{n} + (\frac{b}{n} + \frac{c}{n})$ . Свойство доказано.

Эта задача на теоретическое обоснование свойств дробей, опираясь на свойства натуральных чисел.

Краткое решение