Упражнение 4.387 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Развивай мышление. Ответьте на вопросы, используя графы.

а) Пять посёлков — Воробьёво, Горбово, Павлово, Михайлово и Иваново — соединены дорогами, как показано на рисунке 4.48, а. Какой посёлок соединён с каким? (Дорога — это ребро графа.)

б) В спортивном зале собрались Витя, Ира, Петя, Галя и Максим (рис. 4.48, б). Оказалось, что каждый из детей знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)

в) Можно ли использовать граф решения задачи а) для решения задачи б)?

г) Составьте ещё задачу, которая решалась бы с помощью графов на рисунке 4.48, а, б.

д) В концерте участвовали четверо шестиклассников, которые пели и играли на музыкальных инструментах. Кто из них пел, а кто играл (рис. 4.48, в)? (Красные рёбра графа исходят от певцов, а синие — от их аккомпаниаторов.)

а) Соединены дорогами:

Воробьёво — с Горбово и Павлово;
Горбово — с Воробьёво и Иваново;
Иваново — с Горбово и Михайлово;
Михайлово — с Иваново и Павлово;
Павлово — с Михайлово и Воробьёво.

б) Знакомы друг с другом:

Витя — с Галей и Ирой;
Галя — с Витей и Петей;
Петя — с Галей и Максимом;
Максим — с Петей и Ирой;
Ира — с Максимом и Витей.

в) Да, можно (графы одинаковой структуры).

д) Поют: А и Б. Играют: В и Г.

Справка: Граф — это множество точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). В данной задаче вершины обозначают объекты (поселки, детей), а ребра — связи между ними (дороги, знакомства).

Пункт а) Дороги между поселками

Рассмотрим рисунок 4.48 (а). Вершины обозначены первыми буквами названий поселков. Смотрим, какие пары букв соединены линиями:

В (Воробьёво) соединено с Г (Горбово) и П (Павлово).
Г (Горбово) соединено с В и И (Иваново).
И (Иваново) соединено с Г и М (Михайлово).
М (Михайлово) соединено с И и П (Павлово).
П (Павлово) соединено с М и В.

Получается замкнутое кольцо: В — Г — И — М — П — В.

Пункт б) Знакомства детей

Рассмотрим рисунок 4.48 (б). Линии показывают, кто с кем знаком:

В (Витя) знаком с Г (Галя) и И (Ира).
Г (Галя) знакома с В и П (Петя).
П (Петя) знаком с Г и М (Максим).
М (Максим) знаком с П и И.
И (Ира) знакома с М и В.

Пункт в) Сравнение графов

Ответ: Да, можно.

Оба графа представляют собой цикл из 5 вершин (пятиугольник). Структура связей одинаковая: каждый элемент связан ровно с двумя соседями по кругу. В математике такие графы называют изоморфными.

Пункт г) Пример задачи

Задача: 5 человек сели за круглый стол. Каждый пожал руку двум своим соседям. Сколько всего было рукопожатий?

Пункт д) Концерт

Рассмотрим рисунок 4.48 (в). Это ориентированный граф (со стрелками).

По условию, красные стрелки исходят от певцов.
Мы видим красные стрелки, исходящие от вершин А и Б. Значит, А и Б — певцы.
По условию, синие стрелки исходят от аккомпаниаторов (музыкантов).
Мы видим синие стрелки, исходящие от вершин В и Г. Значит, В и Г — играли на инструментах.

💡 Это интересно

Теория графов — важный раздел математики, который используется для моделирования транспортных сетей, интернета, социальных связей и многого другого.