(Задача-исследование.) На сколько надо уменьшить число 100, чтобы при делении полученной разности как на 5, так и на 7 остаток был равен 1 и при этом первое частное было на 2 больше второго?
1) Обсудите, какие обозначения удобно ввести для решения задачи.
2) Составьте систему уравнений и решите её.
3) Проверьте правильность полученного ответа.
Пусть x — число, на которое уменьшили 100, a — первое частное, b — второе частное.
Составим систему уравнений:
Ответ: число 100 надо уменьшить на 64.
Любое число n при делении на число d с остатком r можно записать в виде:
n = d \\cdot k + r,
где k — это неполное частное, а r — остаток.
Шаг 1: Выбираем удобные обозначения
Для решения этой задачи нам нужно ввести три неизвестных. Обозначим число, которое мы вычитаем из 100, как x. Результат вычитания (разность) будет делиться на 5 и на 7. Пусть при делении на 5 получается частное a, а при делении на 7 — частное b.
Шаг 2: Составляем систему уравнений
Запишем условия в виде математических формул:
Шаг 3: Решаем и находим число
Так как в первых двух уравнениях левые части одинаковые, то 5a + 1 = 7b + 1. Уберем единицы с обеих сторон и получим: 5a = 7b. Теперь подставим сюда наше третье условие (a = b + 2):
Шаг 4: Проверка ответа
Проверим наши расчеты: 100 - 64 = 36. Делим 36 на 5: получается 7 и остаток 1. Делим 36 на 7: получается 5 и остаток 1. Первое частное (7) на 2 больше второго (5). Все условия задачи выполнены!
Ответ: число 100 надо уменьшить на 64.
