Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой , расположены в нижней полуплоскости.
Для доказательства нужно показать, что для любого x:
Так как , то . Следовательно, .
Значит, , и все точки графика лежат в нижней полуплоскости.
Координатная плоскость делится осью X на две части:
1. Верхняя полуплоскость — там, где значения y положительны ().
2. Нижняя полуплоскость — там, где значения y отрицательны ().
Чтобы доказать, что график лежит в нижней полуплоскости, достаточно доказать, что при любом x значение функции будет меньше нуля.
Этап 1: Понимаем задачу
Нам нужно доказать, что какую бы точку на графике мы ни взяли, её координата y всегда будет со знаком минус. Математически это записывается как .
Этап 2: Преобразуем формулу (выделяем полный квадрат)
Возьмем нашу функцию и вынесем минус за скобки, чтобы внутри них было удобнее работать:
Теперь внутри скобок постараемся собрать формулу квадрата суммы. Мы видим и . Для полной формулы нам не хватает числа 9. Разложим число 11 на 9 и 2:
Сворачиваем часть выражения в квадрат:
Этап 3: Анализируем знаки
Теперь раскроем внешние скобки:
Этап 4: Вывод
Так как для любого x значение y всегда меньше нуля, все точки этого графика находятся под осью X, то есть в нижней полуплоскости.
Тождество доказано.
