Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1143

Номер 1143 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что все точки графика функции, заданной формулой y=−x2−6x−11y = -x^2 - 6x - 11, расположены в нижней полуплоскости.

Краткое решение

Для доказательства нужно показать, что y<0y < 0 для любого x:

y=−x2−6x−11;y = -x^2 - 6x - 11;
y=−(x2+6x+11);y = -(x^2 + 6x + 11);
y=−(x2+2⋅3⋅x+32+2);y = -(x^2 + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2 + 2);
y=−((x+3)2+2);y = -((x + 3)^2 + 2);
y=−(x+3)2−2.y = -(x + 3)^2 - 2.

Так как (x+3)2≥0(x + 3)^2 \geq 0, то −(x+3)2≤0-(x + 3)^2 \leq 0. Следовательно, −(x+3)2−2<0-(x + 3)^2 - 2 < 0.

Значит, y<0y < 0, и все точки графика лежат в нижней полуплоскости.

Подробное решение

📚 Теория: Нижняя полуплоскость

Координатная плоскость делится осью X на две части:

1. Верхняя полуплоскость — там, где значения y положительны (y>0y > 0).

2. Нижняя полуплоскость — там, где значения y отрицательны (y<0y < 0).

Чтобы доказать, что график лежит в нижней полуплоскости, достаточно доказать, что при любом x значение функции будет меньше нуля.

Подробный разбор доказательства

Этап 1: Понимаем задачу

Нам нужно доказать, что какую бы точку на графике мы ни взяли, её координата y всегда будет со знаком минус. Математически это записывается как y<0y < 0.

Этап 2: Преобразуем формулу (выделяем полный квадрат)

Возьмем нашу функцию y=−x2−6x−11y = -x^2 - 6x - 11 и вынесем минус за скобки, чтобы внутри них было удобнее работать:

y=−(x2+6x+11)y = -(x^2 + 6x + 11)

Теперь внутри скобок постараемся собрать формулу квадрата суммы. Мы видим x2x^2 и 6x6x. Для полной формулы нам не хватает числа 9. Разложим число 11 на 9 и 2:

y=−(x2+6x+9+2)y = -(x^2 + 6x + 9 + 2)

Сворачиваем часть выражения в квадрат:

y=−((x+3)2+2)y = -((x + 3)^2 + 2)

Этап 3: Анализируем знаки

Теперь раскроем внешние скобки:

y=−(x+3)2−2y = -(x + 3)^2 - 2
Давай порассуждаем:

  • Любое число в квадрате не может быть отрицательным, значит (x+3)2≥0(x + 3)^2 \geq 0.
  • Если перед квадратом стоит минус, то все выражение становится меньше или равно нулю.
  • Если мы из отрицательного числа (или нуля) вычтем еще двойку, результат всегда будет меньше нуля.

Этап 4: Вывод

Так как для любого x значение y всегда меньше нуля, все точки этого графика находятся под осью X, то есть в нижней полуплоскости.

Тождество доказано.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...