За 3 ч по течению и 4 ч против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость течения.
Пусть x (км/ч) собственная скорость теплохода, а y (км/ч) — скорость течения.
Тогда скорость по течению x + y (км/ч), а против течения x — y (км/ч).
Составим систему уравнений:
Ответ: собственная скорость 55 км/ч, скорость течения 5 км/ч.
При движении по реке скорость складывается из собственной скорости судна и скорости течения (если плыть по течению), или вычитается (если плыть против). Важно помнить, что время должно быть в одинаковых единицах: 30 минут это 0,5 часа.
Этап 1: Вводим переменные
Обозначим собственную скорость нашего теплохода (скорость в спокойной воде) буквой x км/ч. Скорость, с которой течет река, обозначим буквой y км/ч. Тогда, когда теплоход плывет по течению, река подгоняет его, и скорость становится (x + y) км/ч. Когда он плывет обратно, река мешает ему, и скорость уменьшается до (x - y) км/ч.
Этап 2: Составляем уравнения на основе пути
В первом случае теплоход был в пути 3 часа по течению и 4 часа против течения. Весь пройденный путь составил 380 км. Путь — это скорость умноженная на время. Запишем это: 3 * (x + y) + 4 * (x - y) = 380.
Во втором случае он плыл 1 час по течению и 30 минут против течения. Переведем 30 минут в часы: это половина часа, то есть 0,5 ч. Общий путь составил 85 км. Второе уравнение: 1 * (x + y) + 0,5 * (x - y) = 85.
Этап 3: Решаем систему
Для удобства умножим второе уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби 0,5. Раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые. Мы получим упрощенную систему, где 7x - y = 380 и 3x + y = 170. Сложим эти два уравнения: y и -y уничтожат друг друга, и останется только 10x = 550. Отсюда собственная скорость теплохода равна 55 км/ч.
Теперь найдем скорость реки. Подставим 55 вместо x во второе упрощенное уравнение: 3 * 55 + y = 170. 165 + y = 170. Значит, скорость течения реки равна 5 км/ч.
Ответ: 55 км/ч и 5 км/ч.
