Номер 1121 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Старинная задача. Если A получит от B $100$ рупий, то станет вдвое его богаче, а если A даст B $10$ рупий, то B станет вшестеро богаче. Сколько денег у каждого?

Краткое решение

Пусть $x$ рупий у $A$ и $y$ рупий — у $B$ . Составим систему уравнений:

{x + 100 = 2 (y - 100), y + 10 = 6 (x - 10);

{x + 100 = 2 y - 200, y + 10 = 6 x - 60;

{x - 2 y = - 100 - 200, - 6 x + y = - 60 - 10;

{x - 2 y = - 300, - 6 x + y = - 70 ∣ \times 2

{x - 2 y = - 300, - 12 x + 2 y = - 140;

- 11 x = - 440,

- 12 x + 2 y = - 140;

{x = \frac{440}{11}, 2 y = 12 x - 140;

{x = 40, 2 y = 12 \cdot 40 - 140;

{x = 40, 2 y = 480 - 140;

{x = 40, 2 y = 340;

{x = 40, y = \frac{340}{2};

{x = 40, y = 170.

Ответ: у A было $40$ рупий, у B — $170$ рупий.

Подробное решение

📚 Теория: Математическая модель обмена

В задачах, где один субъект передает что-то другому:
1. У того, кто отдает, количество уменьшается: $x - n$ .
2. У того, кто получает, количество увеличивается: $y + n$ .
Для приравнивания «в $k$ раз больше» нужно умножить меньшую величину на $k$ .

Разбор решения:

Для решения старинной задачи составим систему линейных уравнений на основе двух условий обмена.

Шаг 1: Первое условие

Если A получает от B $100$ рупий, то у A становится $x + 100$ , а у B остается $y - 100$ . В этом случае капитал A в $2$ раза больше: $x + 100 = 2 (y - 100)$ .

Шаг 2: Второе условие

Если A дает B $10$ рупий, то у A остается $x - 10$ , а у B становится $y + 10$ . Теперь капитал B в $6$ раз больше: $y + 10 = 6 (x - 10)$ .

Шаг 3: Решение

Мы привели систему к стандартному виду и применили метод сложения, предварительно умножив второе уравнение на $2$ , чтобы исключить переменную $y$ . В результате получили, что у A было $40$ рупий, а у B — $170$ .