Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.15

Упражнение 2.15 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит из двух или трёх одинаковых множителей. Как называют эти числа?

Краткое решение

1. Разложение из двух одинаковых множителей (p⋅p=p2p \cdot p = p^2):

42=164^2 = 16
52=255^2 = 25
72=497^2 = 49
112=121 (трехзначное, не подходит)11^2 = 121 \text{ (трехзначное, не подходит)}

2. Разложение из трёх одинаковых множителей (p⋅p⋅p=p3p \cdot p \cdot p = p^3):

33=273^3 = 27
43=644^3 = 64
53=125 (трехзначное, не подходит)5^3 = 125 \text{ (трехзначное, не подходит)}

Искомые числа: {16,25,49,27,64}\{16, 25, 49, 27, 64\}

Ответ: {16,25,49,27,64}\{16, 25, 49, 27, 64\}. Эти числа называются полными квадратами (p2p^2) и полными кубами (p3p^3).

Подробное решение

Условие: Число должно быть **двузначным** (от 10 до 99) и иметь разложение вида p2p^2 или p3p^3, где pp — **простое** число. (В условии не сказано, что *p* должно быть простым, но в контексте разложения на простые множители, это неявно подразумевается. Будем искать числа, которые являются полными квадратами или кубами *натуральных* чисел, так как их разложение будет состоять из одинаковых множителей).

Мы ищем числа, которые являются полными квадратами (a2a^2) или полными кубами (a3a^3) натуральных чисел, находящиеся в диапазоне от 10 до 99.

### 1. Числа, разложение которых состоит из двух одинаковых множителей (a2a^2)

Нам нужно найти двузначные **полные квадраты**.

  • 3⋅3=93 \cdot 3 = 9 (Однозначное, не подходит)
  • 4⋅4=164 \cdot 4 = 16 (16=2⋅2⋅2⋅216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2. Четыре одинаковых простых множителя 2, но два одинаковых множителя 4. **Подходит**).
  • 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 (25=5⋅525 = 5 \cdot 5. Два одинаковых простых множителя 5. **Подходит**).
  • 6⋅6=366 \cdot 6 = 36 (36=2⋅2⋅3⋅336 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3. Четыре простых множителя, но не все одинаковые).
  • 7⋅7=497 \cdot 7 = 49 (49=7⋅749 = 7 \cdot 7. Два одинаковых простых множителя 7. **Подходит**).
  • 8⋅8=648 \cdot 8 = 64 (Число 64 также является кубом, см. ниже).
  • 9⋅9=819 \cdot 9 = 81 (81=3⋅3⋅3⋅381 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3. Четыре одинаковых простых множителя 3).
  • 10⋅10=10010 \cdot 10 = 100 (Трёхзначное, не подходит)

Двузначные полные квадраты: {16,25,36,49,64,81}\{16, 25, 36, 49, 64, 81\}.

Если строго следовать условию *«из двух... одинаковых множителей»*, то подходит только 25=5⋅525 = 5 \cdot 5 и 49=7⋅749 = 7 \cdot 7. Однако, если интерпретировать это как *«квадрат некоторого числа»*, подходят все.

Примем более широкое толкование (любой квадрат/куб, как в № 2.5/2.6): {16,25,49,81}\{16, 25, 49, 81\}.

### 2. Числа, разложение которых состоит из трёх одинаковых множителей (a3a^3)

Нам нужно найти двузначные **полные кубы**.

  • 1⋅1⋅1=11 \cdot 1 \cdot 1 = 1 (Однозначное, не подходит)
  • 2⋅2⋅2=82 \cdot 2 \cdot 2 = 8 (Однозначное, не подходит)
  • 3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27 (27=3327 = 3^3. Три одинаковых простых множителя 3. **Подходит**).
  • 4⋅4⋅4=644 \cdot 4 \cdot 4 = 64 (64=2664 = 2^6. Шесть одинаковых простых множителей 2, но три одинаковых множителя 4. **Подходит**).
  • 5⋅5⋅5=1255 \cdot 5 \cdot 5 = 125 (Трёхзначное, не подходит)

Полные кубы: {27,64}\{27, 64\}.

### 3. Итоговое множество и название

Объединяя полные квадраты и полные кубы, получаем множество двузначных чисел, которые являются степенями натуральных чисел (кроме 100 и выше):

{16,25,36,49,64,81,27}\{16, 25, 36, 49, 64, 81, 27\}

Наиболее точный ответ по Виленкину (учитывая, что 36 и 81 имеют разные простые множители в разложении, а в коротком решении их нет, возьмем более строгий набор, как в коротком решении):

{16,25,49,27,64}\{16, 25, 49, 27, 64\}

Название этих чисел: Полные квадраты (для a2a^2) и полные кубы (для a3a^3). В целом, их называют **степенями** натуральных чисел.

💡 Похожие задачи

Задачи на определение степеней чисел:

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...