Докажите, что если в уравнении коэффициенты и — целые числа, то пара чисел (15; 40) не может быть решением этого уравнения.
и — целые числа.
15a и 40b делятся на 5, значит, сумма 15a + 40b тоже делится на 5, число 81 не делится на 5 без остатка.
Получаем противоречие: левая часть делится на 5, а правая не делится. Значит, целых a и b, при которых подстановка (15; 40) даёт 81, не существует.
В математике часто используют такой прием: мы предполагаем, что решение есть, и ищем логическую ошибку (противоречие).
Если левая часть уравнения представляет собой сумму чисел, каждое из которых делится на 5, то и вся сумма обязана делиться на 5. Если число справа при этом на 5 не делится, значит, наше исходное предположение было неверным.
Шаг 1. Предположим обратное.
Представим на минуту, что пара чисел (15; 40) действительно является решением. Тогда при подстановке x = 15 и y = 40 уравнение должно превратиться в верное равенство: 15a + 40b = 81.
Шаг 2. Анализ левой части уравнения.
Посмотрим на левую сторону: 15a + 40b. Мы знаем, что 15 делится на 5 (это 5 умножить на 3), и 40 тоже делится на 5 (это 5 умножить на 8).
Если коэффициенты a и b — целые числа, то мы можем вынести общий множитель 5 за скобки: 5 умножить на (3a + 8b). Любое целое число, умноженное на 5, в результате даст число, которое делится на 5 без остатка.
Шаг 3. Анализ правой части и поиск противоречия.
С правой стороны у нас стоит число 81. По правилам математики, число делится на 5 только в том случае, если оно заканчивается на 0 или на 5. Число 81 заканчивается на 1, а значит, на 5 оно не делится.
Мы получили ситуацию, когда левая часть всегда кратна пяти, а правая часть — нет. Такое равенство невозможно.
Шаг 4. Вывод.
Так как мы пришли к противоречию, наше предположение было ложным. Это доказывает, что при целых коэффициентах пара (15; 40) никак не может быть решением данного уравнения.
