Докажите, что графику уравнения не принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами.
и — целые числа, тогда выражение тоже целое число, а не является целым числом, значит, графику не принадлежит ни одна точка с целочисленными координатами.
1. Целочисленные координаты — это такие значения x и y, которые являются целыми числами (..., -1, 0, 1, ...).
2. Если мы выполняем действия (сложение, вычитание, умножение) с целыми числами, результат всегда будет целым числом.
3. Если в уравнении левая часть при любых целых значениях переменных дает целое число, а правая часть является дробью, то такое уравнение не имеет решений в целых числах.
Чтобы доказать, что у этого уравнения нет точек с целыми координатами, мы попробуем упростить его и найти противоречие.
Шаг 1. Посмотрим на коэффициенты 6 и 12 перед переменными x и y. Оба этих числа делятся на 6. Вынесем общий множитель за скобки: 6 умножить на (x - 2y) равно 5.
Шаг 2. Теперь разделим обе части уравнения на 6. Слева останется выражение в скобках (x - 2y), а справа получится дробь 5/6.
Шаг 3. Вспомним условие про целые координаты. Если x и y — это целые числа, то и 2y будет целым числом. Разность двух целых чисел (x - 2y) тоже обязана быть целым числом.
Шаг 4. Сравним левую и правую части нашего упрощенного уравнения. Слева у нас стоит целое число (x - 2y), а справа — обыкновенная дробь 5/6, которая целым числом не является.
Поскольку целое число никогда не может быть равно несократимой дроби, мы делаем вывод, что таких целых чисел x и y просто не существует.
Это доказывает, что на графике уравнения нет точек, у которых обе координаты были бы целыми числами. Доказано.
