Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1173

Номер 1173 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Является ли решением системы уравнений {a2+b2=16a2+8a+b2−8b+16=0\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases} пара чисел: а) a=0,b=4a = 0, b = 4; б) a=0,b=−4a = 0, b = -4; в) a=−4,b=0a = -4, b = 0?

Краткое решение

{a2+b2=16a2+8a+b2−8b+16=0\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases}
{a2+b2=16(a2+b2)+(8a−8b)+16=0\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ (a^2 + b^2) + (8a - 8b) + 16 = 0 \end{cases}
{a2+b2=1616+8(a−b)+16=0\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ 16 + 8(a - b) + 16 = 0 \end{cases}
{a2+b2=168(a−b)+32=0\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ 8(a - b) + 32 = 0 \end{cases}
{a2+b2=168(a−b)=−32/:8\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ 8(a - b) = -32 \quad / : 8 \end{cases}
{a2+b2=16a−b=−4\begin{cases} a^2 + b^2 = 16 \\ a - b = -4 \end{cases}

а) Если a=0,b=4a = 0, b = 4, то

{02+42=160−4=−4\begin{cases} 0^2 + 4^2 = 16 \\ 0 - 4 = -4 \end{cases}
{16=16 — верно,−4=−4 — верно.\begin{cases} 16 = 16 \text{ — верно,} \\ -4 = -4 \text{ — верно.} \end{cases}

Ответ: пара a=0,b=4a = 0, b = 4 является решением системы уравнений.

б) a=0,b=−4a = 0, b = -4

{02+(−4)2=160−(−4)=−4\begin{cases} 0^2 + (-4)^2 = 16 \\ 0 - (-4) = -4 \end{cases}
{16=16 — верно,4=−4 — неверно.\begin{cases} 16 = 16 \text{ — верно,} \\ 4 = -4 \text{ — неверно.} \end{cases}

Ответ: пара a=0,b=−4a = 0, b = -4 не является решением системы уравнений.

в) Если a=−4,b=0a = -4, b = 0, то

{(−4)2+02=16−4−0=−4\begin{cases} (-4)^2 + 0^2 = 16 \\ -4 - 0 = -4 \end{cases}
{16=16 — верно,−4=−4 — верно.\begin{cases} 16 = 16 \text{ — верно,} \\ -4 = -4 \text{ — верно.} \end{cases}

Ответ: пара a=−4,b=0a = -4, b = 0 является решением системы уравнений.

Подробное решение

📚 Теория: Проверка решения системы

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, необходимо подставить эти значения в каждое уравнение. Если в обоих случаях получаются верные числовые равенства, то пара чисел — решение. В данной задаче мы сначала упростили второе уравнение, используя значение из первого, чтобы сделать проверку более быстрой.

Подробный разбор решения

Шаг 1. Упрощение системы.

Вместо того чтобы подставлять числа в громоздкое второе уравнение, мы его упростим. Заметим, что в него входят те же слагаемые a2a^2 и b2b^2, сумма которых по первому уравнению всегда равна 16. Подставим 16 вместо их суммы и получим простую зависимость a−b=−4a - b = -4. Теперь проверять пары чисел гораздо легче.

Шаг 2. Проверка вариантов.

  • Пункт а: Подставляем 0 и 4. В первом уравнении получаем 16, во втором упрощенном: 0 - 4 = -4. Оба равенства верны.
  • Пункт б: Подставляем 0 и -4. Первое уравнение сходится (16=16), но во втором получаем 0 - (-4) = 4, что не равно -4. Это не решение.
  • Пункт в: Подставляем -4 и 0. Первое уравнение: 16 + 0 = 16. Второе: -4 - 0 = -4. Всё верно, это решение.

💡 Похожие номера

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...