При каком значении c система уравнений имеет бесконечно много решений?
Ответ: c = 30.
Система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений только в том случае, когда оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это происходит, когда при приведении уравнений к виду y = kx + b их коэффициенты k и b полностью совпадают.
Чтобы понять, как ведут себя графики уравнений, нам нужно выразить переменную y. Это позволит нам увидеть угловой коэффициент прямых.
В первом уравнении перенесем y вправо, а 10 влево: 3x - 10 = y, или привычнее: y = 3x - 10. У этой прямой угловой коэффициент k = 3, а свободный член b = -10.
Во втором уравнении выразим 3y: 3y = 9x - c. Теперь, чтобы получить чистый y, разделим каждое слагаемое в правой части на 3. Получим: y = 3x - c/3.
Теперь у нас есть система в новом виде:
Мы видим, что угловые коэффициенты уже одинаковы (оба равны 3). Это значит, что прямые как минимум параллельны. Чтобы решений стало бесконечно много, эти прямые должны не просто идти рядом, а полностью совпасть (лечь друг на друга).
Это случится только тогда, когда свободные члены уравнений тоже станут равны. Составим простое уравнение: c/3 должно быть равно 10.
Найдем значение переменной c: если c, деленное на 3, дает 10, то само c в три раза больше.
Проверим результат:
Если c = 30, то второе уравнение системы 9x - 3y = 30 при делении на 3 превращается в 3x - y = 10. Мы получили в точности первое уравнение. Это доказывает, что при c = 30 система уравнений имеет бесконечное множество решений, так как любая точка этой прямой будет подходить обоим уравнениям одновременно.
