Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.101

Упражнение 2.101 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс. км моторное масло, а каждые 60 тыс. км — приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня?

б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг неё за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют своё положение на орбите?

Краткое решение

а) Ищем НОК(15, 60). Так как 60 кратно 15 (60:15=460 : 15 = 4), то НОК(15, 60) = 60.

б) Ищем НОК(42, 85, 172, 400).

42=2⋅3⋅742 = 2 \cdot 3 \cdot 7
85=5⋅1785 = 5 \cdot 17
172=22⋅43172 = 2^2 \cdot 43
400=24⋅52400 = 2^4 \cdot 5^2
НОК=24⋅3⋅52⋅7⋅17⋅43=16⋅3⋅25⋅7⋅17⋅43\text{НОК} = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 43 = 16 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 43
НОК=(16⋅25)⋅3⋅7⋅17⋅43=400⋅3⋅7⋅731=6 140 400\text{НОК} = (16 \cdot 25) \cdot 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 43 = 400 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 731 = 6\,140\,400

Ответ: а) 60 тыс. км; б) 6 140 400 ч.

Подробное решение

Правило: Чтобы найти, когда два или более циклических события совпадут в одно и то же время, необходимо найти Наименьшее Общее Кратноe (НОК) их периодов (интервалов времени или расстояния).

а) Замена масла и ремня.

Нам нужно найти НОК чисел 15 (тыс. км) и 60 (тыс. км).

Мы видим, что 60 делится на 15 без остатка:

60:15=460 : 15 = 4

По правилу нахождения НОК, если одно число (60) кратно другому (15), то НОК этих чисел равен большему из них.

НОК(15,60)=60\text{НОК}(15, 60) = 60

Следовательно, замены масла и приводного ремня совпадут через 60 тыс. км.

б) Спутники Юпитера.

Нам нужно найти НОК периодов обращения всех четырех спутников: 42, 85, 172 и 400 часов. Для этого разложим каждое число на простые множители:

  • 42=2⋅21=2⋅3⋅742 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7
  • 85=5⋅1785 = 5 \cdot 17
  • 172=2⋅86=2⋅2⋅43=22⋅43172 = 2 \cdot 86 = 2 \cdot 2 \cdot 43 = 2^2 \cdot 43
  • 400=4⋅100=22⋅102=22⋅(2⋅5)2=22⋅22⋅52=24⋅52400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2

Теперь, чтобы найти НОК, мы берем наибольшую степень каждого простого множителя, который встречается в разложениях (это множители 2, 3, 5, 7, 17, 43):

НОК(42,85,172,400)=24⋅31⋅52⋅71⋅171⋅431\text{НОК}(42, 85, 172, 400) = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 17^1 \cdot 43^1

Вычислим это произведение:

16⋅3⋅25⋅7⋅17⋅4316 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 43

Сгруппируем для удобства: (16⋅25)⋅3⋅7⋅(17⋅43)(16 \cdot 25) \cdot 3 \cdot 7 \cdot (17 \cdot 43)

400⋅3⋅7⋅731400 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 731
1200⋅7⋅731=8400⋅731=6 140 4001200 \cdot 7 \cdot 731 = 8400 \cdot 731 = 6\,140\,400

Таким образом, все четыре спутника повторят своё положение одновременно через 6 140 400 часов.

Ответ:
а) Через 60 тыс. км.
б) Через 6 140 400 часов.

💡 Похожие задачи

Эта задача на практическое применение Наименьшего Общего Кратно (НОК) для нахождения повторяющихся событий.

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...