Номер 1123 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Два автомата изготавливают детали. Число деталей, изготовленных первым автоматом за $3$ ч и вторым за $2$ ч, составляет $720$ штук. Четвёртая часть деталей, изготовленных обоими автоматами за $2$ ч, составила $150$ штук. Сколько деталей изготовлял каждый автомат за час?

Краткое решение

Пусть $x$ число деталей, изготавливаемых первым автоматом за $1$ ч, $y$ — вторым автоматом за $1$ ч.

Составим систему уравнений:

\begin{cases} 3x + 2y = 720, \\ \frac{1}{4}(2x + 2y) = 150; \ | \ \times 4 \end{cases}

\begin{cases} 3x + 2y = 720, \ | \ \times (-1) \\ 2x + 2y = 150 \cdot 4; \end{cases}

\begin{cases} -3x - 2y = -720, \\ 2x + 2y = 600; \end{cases}

\begin{cases} -x = -120, \\ 2x + 2y = 600; \ | \ : 2 \end{cases}

\begin{cases} x = 120, \\ x + y = 300; \end{cases}

\begin{cases} x = 120, \\ y = 300 - x; \end{cases}

\begin{cases} x = 120, \\ y = 300 - 120; \end{cases}

\begin{cases} x = 120, \\ y = 180. \end{cases}

Ответ: $120$ деталей изготавливает первый автомат за $1$ ч, $180$ деталей — второй.

Подробное решение

📚 Теория: Производительность труда

Общее количество выполненной работы вычисляется по формуле $A = v \cdot t$ , где $v$ — производительность (количество деталей в единицу времени), а $t$ — время работы. При совместной работе производительности суммируются.

Разбор хода решения:

Для определения производительности каждого автомата составим систему линейных уравнений на основе данных задачи.

Шаг 1: Анализ условий

Первое условие: первый автомат работал $3$ ч, второй $2$ ч, вместе они сделали $720$ деталей. Это дает уравнение $3x + 2y = 720$ .
Второе условие: за $2$ ч совместной работы они сделали столько деталей, что четверть от этого количества равна $150$ . Это выражается уравнением $\frac{1}{4}(2x + 2y) = 150$ .

Шаг 2: Упрощение системы

Умножив второе уравнение на $4$ , мы избавились от дроби и получили $2x + 2y = 600$ . После этого удобно применить метод сложения, умножив первое уравнение на $-1$ , чтобы исключить переменную $y$ .

Шаг 3: Вычисления

В результате сложения уравнений получили $-x = -120$ , следовательно производительность первого автомата — $120$ деталей в час. Подставив это значение в упрощенное второе уравнение ( $x + y = 300$ ), находим производительность второго — $180$ деталей в час.