Докажите, что прямые x+y=5, 2x−y=16 и x+2y=3 пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?
Краткое решение
⎩⎨⎧x+y=5,2x−y=16,x+2y=3
⎩⎨⎧3x=21,2x−y=16,x+2y=3
⎩⎨⎧x=321,y=2x−16,x+2y=3
⎩⎨⎧x=7,y=2⋅7−16,x+2y=3
⎩⎨⎧x=7,y=14−16,x+2y=3
⎩⎨⎧x=7,y=−2,x+2y=3
⎩⎨⎧x=7,y=−2,7+2⋅(−2)=3
⎩⎨⎧x=7,y=−2,3=3 — верно.
Ответ: три прямые пересекаются в точке (7; -2).
Подробное решение
📚 Теория: Пересечение трех прямых
Чтобы доказать, что три прямые проходят через одну общую точку, нужно найти точку пересечения двух любых из них и проверить, удовлетворяют ли ее координаты уравнению третьей прямой. Если при подстановке получается верное числовое равенство, доказательство завершено.
Подробный разбор решения
Шаг 1. Находим точку пересечения первой и второй прямой.
Для этого объединим уравнения x+y=5 и 2x−y=16 в систему. Используем метод сложения, так как коэффициенты при переменной y противоположны по знаку.
При сложении получаем уравнение 3x=21, откуда находим x=7. Подставив это значение в первое уравнение, получаем 7+y=5, значит y=−2. Таким образом, координаты предполагаемой точки пересечения — (7; -2).
Шаг 2. Проверка третьей прямой.
Теперь подставим полученные значения x=7 и y=−2 в последнее уравнение x+2y=3:
7+2⋅(−2)=7−4=3
Полученное равенство 3=3 является верным. Это подтверждает, что точка (7; -2) лежит и на третьей прямой. Следовательно, все три прямые пересекаются в этой точке.
