Номер 419 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Три равных ребра $DA=DB=DC$ с равными углами при вершине дают правильную треугольную пирамиду $DABC$. Её описанная сфера пересекает плоскость основания по окружности, описанной около $ABC$. Радиус сферы связывает $l$ и высоту $DH$ через прямоугольный треугольник на диаметре.

1. 1Равные боковые рёбра и равные плоские углы при вершине $D$: три боковые грани — равнобедренные треугольники с одинаковым углом $2\phi$ при вершине и боковыми сторонами $l$.
2. 2Основание равнобедренного треугольника с боковой стороной $l$ и углом $2\phi$ при вершине равно $2l\sin \phi$. Все три стороны основания равны.
3. 3Точка $D$ равноудалена от $A$, $B$, $C$, поэтому её проекция $H$ — центр окружности, описанной около $ABC$. Для правильного треугольника расстояние от центра до вершины $AH=\frac{AB}{\sqrt{3}}$. Высота $DH$ — катет прямоугольного треугольника $DHA$.
4. 4Центр сферы равноудалён от $A$, $B$, $C$, поэтому лежит на перпендикуляре к плоскости $ABC$ через $H$, то есть на прямой $DH$. Если $D{D}_1$ — диаметр на этой прямой, то в треугольнике $DA{D}_1$ угол $A$ прямой (опирается на диаметр), $AH$ — высота к гипотенузе, и катет $DA$ — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции: $D{A}^2=D{D}_1\cdot DH$. Подставляем $DH$ из шага 3.
5. 5Подставляем найденное $l$ в формулу для стороны основания. В ответе порядок: $AB$ — первое значение, $AD$ — второе, как в вопросе.
6. 6Сечение сферы плоскостью $ABC$ — круг с границей-окружностью, проходящей через $A$, $B$, $C$, его радиус $AH$. Подставляем $l^2=4R^2\cdot \frac{3-4{\sin }^2\phi }{3}$.

Проверка. При $\phi =30^{\circ }$ получается правильный тетраэдр: ${\sin }^2\phi =\frac{1}{4}$, $AD=2R\sqrt{\frac{2}{3}}=AB$ — все рёбра равны, и $R=\frac{AD\sqrt{6}}{4}$ — известная связь ребра правильного тетраэдра и радиуса описанной сферы.