Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 113, Доп. задачи
№417. Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD, ABC2D2 — прямоугольники в разных плоскостях, общая сторона AB
Доказать:A,B,C,D,C2,D2 лежат на одной сфере
ABCD и
ABC2D2 — прямоугольники в плоскостях
α=β, общая сторона
AB;
O1,
O2 — точки пересечения их диагоналей.
1 O1A=O1B=O1C=O1D — центр описанной окружности. Прямая
l1⊥α через
O1 — множество точек, равноудалённых от
A,B,C,D. Аналогично
l2⊥β через
O2 для
A,B,C2,D2.
2 M — середина
AB,
π — плоскость через
M,
π⊥AB.
O1A=O1B ⇒
O1∈π;
l1⊥α⊃AB ⇒
l1⊥AB ⇒
l1⊂π.
3 Так же
O2∈π,
l2⊂π.
α∦β ⇒
l1∦l2 ⇒ в плоскости
π они пересекаются в точке
O.
4O∈l1 ⇒
OA=OB=OC=OD;
O∈l2 ⇒
OA=OB=OC2=OD2.
5 Все шесть вершин на одном расстоянии от
O — на сфере с центром
O.
5Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Точки, равноудалённые от вершин прямоугольника, образуют прямую, перпендикулярную его плоскости и проходящую через центр. Для двух прямоугольников таких прямых две, и если они пересекаются, точка пересечения — центр искомой сферы.
- 1Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому O1 равноудалена от всех четырёх вершин.
- 2Точка пространства равноудалена от вершин прямоугольника тогда и только тогда, когда её проекция на плоскость — O1 (все наклонные с равными проекциями равны). Эти точки образуют перпендикуляр l1 к плоскости через O1.
- 3Нужно убедиться, что l1 и l2 пересекаются, а не скрещиваются. Обе прямые перпендикулярны AB и проходят через точки плоскости π, перпендикулярной AB в её середине, поэтому лежат в π.
- 4Две прямые в одной плоскости пересекаются, если не параллельны. l1∥l2 было бы только при параллельных плоскостях α и β, а у них общая прямая AB.
- 5Точка пересечения O лежит и на l1, и на l2, поэтому одинаково удалена от всех шести вершин. Сфера с центром O и радиусом OA проходит через них.
Проверка. Случай, когда плоскости перпендикулярны, тоже работает: O — вершина прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого делится пополам центром описанной сферы.
