Номер 418 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

две сферы радиуса

R

;

O_{1} O_{2} = d < 2 R

; б)

d = 1, 6 R

Найти:

а) доказать: пересечение — окружность; б)

ρ

— радиус окружности

Сечение двух сфер плоскостью через центры O₁ и O₂: общие точки X, Y лежат на серединном перпендикуляре к O₁O₂

d = O_{1} O_{2} < 2 R

M

— середина

O_{1} O_{2}

α

— плоскость,

α ⊥ O_{1} O_{2}

M \in α

X

— общая точка сфер ⇔

X O_{1} = X O_{2} = R

X O_{1} = X O_{2}

⇔

X \in α

(серединный перпендикуляр: множество точек, равноудалённых от

O_{1}

O_{2}

).2

Для

X \in α

XM ⊥ O_{1} O_{2}

, и по теореме Пифагора3

X O_{1}^{2} = X M^{2} + \frac{d ^{2}}{4} = R^{2} \Rightarrow X M^{2} = R^{2} - \frac{d ^{2}}{4} = ρ^{2} > 0

Значит, общие точки — это в точности точки

α

на расстоянии

ρ

от

M

: окружность с центром

M

радиуса

ρ

б)

d = 1, 6 R

ρ = R^{2} - (0, 8 R)^{2} = 0, 36 R^{2} = 0, 6 R

Ответ: а) доказано; б)

0, 6 R

Пояснение

Идея. Точки, лежащие на обеих сферах, одинаково удалены от центров. Такие точки заполняют серединную плоскость отрезка $O_{1} O_{2}$ . В ней условие «расстояние $R$ до центра» задаёт окружность вокруг середины $M$ .

1Условие $d < 2 R$ гарантирует, что сферы действительно пересекаются: если бы $d$ было равно $2 R$ , они бы касались, а при $d > 2 R$ не имели бы общих точек. Плоскость $α$ — серединный перпендикуляр отрезка $O_{1} O_{2}$ в пространстве.
2Общая точка лежит на обеих сферах, поэтому удалена от $O_{1}$ и $O_{2}$ на $R$ . Равенство расстояний до двух точек означает принадлежность серединной плоскости.
3В прямоугольном треугольнике $XM O_{1}$ ( $XM \subset α$ , значит, $XM ⊥ O_{1} O_{2}$ ) гипотенуза $X O_{1} = R$ и катет $M O_{1} = \frac{d}{2}$ . Отсюда $XM$ не зависит от положения $X$ — только от $R$ и $d$ .
4Условие $XM = ρ$ в плоскости — окружность. Обратно: любая точка этой окружности удовлетворяет $X O_{1} = X O_{2} = R$ , то есть лежит на обеих сферах. Значит, пересечение — именно эта окружность.
5Подставляем $d = 1, 6 R$ : $\frac{d}{2} = 0, 8 R$ . Получается прямоугольный треугольник $0, 6; 0, 8; 1$ — «египетский».

Проверка. Если $d = 0$ (сферы совпадают), формула даёт $ρ = R$ ; при $d \to 2 R$ радиус окружности стремится к нулю — сферы касаются.

Номер 418 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели