Номер 416 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

сфера

(O; R)

;

O A = \frac{R}{3}

;

A \in α

; сфера

(O; \frac{R}{6})

касается

α

Найти:

а)

∠ (O A, α)

; б)

S_{сеч} : S_{сф}

Сечение сферы плоскостью, проходящей через центр O и перпендикуляр OH к α; пунктир — малая сфера, касающаяся α в точке H

R

— радиус данной сферы,

O A = \frac{R}{3}

Малая сфера радиуса

\frac{R}{6}

касается

α

в точке

H

O H ⊥ α

O H = \frac{R}{6}

а)

A H

— проекция

O A

на

α

⇒

φ = ∠ O A H

sin φ = \frac{O H}{O A} = \frac{R /6}{R /3} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 3 0^{\circ}

б)

ρ^{2} = R^{2} - O H^{2} = R^{2} - \frac{R ^{2}}{36} = \frac{35}{36} R^{2}

\frac{S _{сеч}}{S _{сф}} = \frac{π ρ ^{2}}{4 π R ^{2}} = \frac{35}{36 \cdot 4} = \frac{35}{144}

Ответ: а)

3 0^{\circ}

; б)

\frac{35}{144}

Пояснение

Идея. Касание малой сферы с плоскостью $α$ означает, что расстояние от центра до $α$ равно радиусу малой сферы, то есть $\frac{R}{6}$ . Дальше работаем в одном прямоугольном треугольнике $O H A$ .

1Деление радиуса в отношении $1 : 2$ от центра: $O A$ — одна часть из трёх. Откуда $O A = \frac{R}{3}$ .
2Сфера касается плоскости в точке $H$ , радиус в точку касания перпендикулярен плоскости (п. 45). Значит, $O$ удалена от $α$ на $\frac{R}{6}$ . Точка $A$ лежит в $α$ .
3Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией. Проекция $O A$ на $α$ — это $H A$ . Синус острого угла — отношение противолежащего катета $O H$ к гипотенузе $O A$ .
4Плоскость на расстоянии $d$ от центра пересекает сферу по окружности радиуса $R^{2} - d^{2}$ (п. 44).
5Площадь сечения-круга $π ρ^{2}$ , площадь сферы $4 π R^{2}$ . $R^{2}$ и $π$ сокращаются.

Проверка. В прямоугольном треугольнике с катетом, равным половине гипотенузы, острый угол против этого катета равен $3 0^{\circ}$ — совпадает с ответом.

Номер 416 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели