Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 113, Доп. задачи
№415. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере. а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:
△ABC, ∠C=90∘, AC=2,4 см, BC=1,8 см; A,B,C∈ сфера; а) R=1,5 см; б) R=6,5 см
Найти:
а) доказать: O∈(ABC); б) d=ρ(O,ABC)
∠C=90∘, AC=2,4, BC=1,8; плоскость ABC пересекает сферу по окружности, описанной около △ABC.1
Идея. Плоскость, пересекающая сферу, даёт окружность. У неё три величины связаны теоремой Пифагора: радиус сферы R, радиус сечения ρ и расстояние d от центра сферы до плоскости. Радиус ρ тут находится по прямоугольному треугольнику.
1Все три вершины на сфере и в плоскости треугольника, значит, они лежат на окружности — сечении сферы этой плоскостью. Это окружность, описанная около треугольника.
2Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр, поэтому гипотенуза AB — диаметр окружности сечения. Её радиус равен половине гипотенузы.
3Радиус сечения равен радиусу сферы: ρ=R=1,5. Но ρ2=R2−d2, значит, d=0 и центр сферы лежит в плоскости. Окружность сечения — наибольшая окружность на сфере.
4Центр сферы проектируется на плоскость сечения в центр окружности сечения O1, а OO1=d. Из прямоугольного треугольника OO1A: d2=R2−ρ2.
Проверка. В пункте б) d=210≈6,3 немного меньше R=6,5: сечение мелкое (ρ=1,5), плоскость далеко от центра.
