Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 113, Доп. задачи
№414. Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.
✎ Запись в тетрадь
Дано:сфера, центр O, радиус R
Доказать:а) O — центр симметрии; б) любая прямая через O — ось симметрии; в) любая плоскость через O — плоскость симметрии
O — центр,
R — радиус;
X — любая точка сферы,
OX=R. Покажем: симметричная ей
X′ тоже на сфере, то есть
OX′=R.
1 а) центр симметрии
O — середина
XX′ ⇒
OX′=OX=R.
2 б) ось a∋O
H — основание перпендикуляра из
X на
a;
H — середина
XX′,
XX′⊥a ⇒
OH — медиана и высота
△OXX′.
3 △OXX′ равнобедренный:
OX′=OX=R. (Если
X∈a, то
X′=X.)
3 в) плоскость α∋O
H — основание перпендикуляра из
X на
α;
H — середина
XX′,
XX′⊥α,
OH⊂α ⇒
XX′⊥OH.
4 Снова
OH — медиана и высота
△OXX′ ⇒
OX′=OX=R.
4Во всех случаях
X′ лежит на сфере: сфера симметрична сама себе. Что и требовалось доказать.
5Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Симметрия сохраняет сферу, если симметричная точка снова оказывается на расстоянии R от центра. Во всех трёх случаях центр O лежит на «зеркале» (в точке, на прямой, в плоскости), поэтому O равноудалена от X и X′.
- 1Сфера — множество точек, удалённых от центра на R. Чтобы доказать, что фигура переходит в себя при симметрии, берём произвольную её точку и проверяем, что симметричная точка тоже в фигуре.
- 2Центральная симметрия относительно O: X′ лежит на продолжении XO на таком же расстоянии. Поэтому OX′=OX.
- 3При осевой симметрии ось a — серединный перпендикуляр к XX′. В треугольнике OXX′ отрезок OH — одновременно медиана и высота, поэтому треугольник равнобедренный.
- 4При зеркальной симметрии α перпендикулярна XX′ и делит его пополам. Прямая OH лежит в α, поэтому перпендикулярна XX′, и снова OH — медиана и высота.
- 5Любая точка сферы переходит в точку сферы. Значит, сфера совпадает со своим образом.
