Номер 412 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. У вписанной пирамиды вершина общая с конусом, а основание вписано в окружность основания. Основание и боковая поверхность правильной пирамиды содержат один и тот же периметр, поэтому $S=\frac{1}{2}P(a+m)$ — остаётся найти $P$, $a$, $m$ для каждого $n$.

1. 1Радиус окружности, описанной около основания, равен радиусу конуса, а высота пирамиды — высоте конуса и проходит через центр $O$.
2. 2Площадь правильного многоугольника — половина произведения периметра на апофему. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники с высотой $m$ (апофема пирамиды): их сумма $\frac{1}{2}Pm$ (п. 33).
3. 3Сторона правильного $n$-угольника $2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}$, апофема $R\cos \frac{180^{\circ }}{n}$. Апофема пирамиды $m$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $SOK$ с катетами $SO=4$ и $OK=a$.
4. 4Для $n=3$: сторона $3\sqrt{3}$, $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Подставляем в $S=\frac{1}{2}P(a+m)$.
5. 5Для $n=4$: сторона $3\sqrt{2}$, апофема $\frac{3\sqrt{2}}{2}$; $\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{2}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=18$ и $\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{82}}{2}=3\sqrt{164}=6\sqrt{41}$.
6. 6Для $n=6$: сторона равна радиусу $3$, апофема $3\cos 30^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Проверка. Для $n=4$: основание — квадрат с диагональю $6$, его площадь $\frac{6^2}{2}=18$ — совпадает с первым слагаемым.