Номер 413 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Перпендикулярность диагоналей равнобедренной трапеции делает её высоту равной средней линии. Тогда площадь сечения равна $h^2$, откуда $h$ и сумма оснований. Дальше — формулы усечённого конуса.

1. 1Диагонали равнобедренной трапеции равны. Все длины переводим в дециметры, чтобы не путать единицы: $40$ см $=4$ дм.
2. 2Равнобедренная трапеция симметрична относительно оси, и $K$ лежит на ней, поэтому $KA=KB$ и $KD=KC$. Угол $AKB$ — угол между диагоналями — прямой, значит, $ABK$ и $DCK$ — равнобедренные прямоугольные треугольники. Высота равнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Точки $M$, $K$, $N$ лежат на оси, $MN=h$.
3. 3Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту. Полусумма оснований равна $h$, поэтому площадь $h^2$. Отсюда $h=6$ и $AB+DC=12$ дм.
4. 4Одно основание $4$ дм, тогда другое $12-4=8$ дм; радиусы — половины оснований. Образующая — боковая сторона трапеции; она получается из прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $R-r$.
5. 5Площадь боковой поверхности усечённого конуса $\pi (R+r)l$, полная — плюс два основания (п. 42).

Проверка. Для $R=4$, $r=2$, $h=6$ диагональ $AC$ идёт из $(-4;0)$ в $(2;6)$, диагональ $BD$ — из $(4;0)$ в $(-2;6)$; их направляющие векторы $(6;6)$ и $(-6;6)$ перпендикулярны.