Номер 1112 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Имеет ли решения система уравнений и сколько:

а) ${2 x - y = 1, - 6 x + 3 y = 2;$

б) ${- 5 x + 2 y = 7, 15 x - 6 y = - 21 ?$

Краткое решение

а)

{2 x - y = 1, - 6 x + 3 y = 2;

{y = 2 x - 1, 3 y = 6 x + 2; ∣ : 3

{y = 2 x - 1, y = 2 x + \frac{2}{3};

Угловые коэффициенты одинаковые, а точки пересечения с осью $y$ различны, значит, прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений, так как прямые параллельны.

б)

{- 5 x + 2 y = 7, 15 x - 6 y = - 21;

{2 y = 5 x + 7, ∣ : 2 6 y = 15 x + 21; ∣ : 6

{y = \frac{5}{2} x + \frac{7}{2}, y = \frac{15}{6} x + \frac{21}{6}; ∣ : 6

{y = 2, 5 x + 3, 5, y = 2, 5 x + 3, 5

Уравнения совпали, значит, любая точка прямой является решением.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как уравнения совпадают.

Подробное решение

📚 Теория: Анализ количества решений

Для определения количества решений системы вида $y = k_{1} x + b_{1}$ и $y = k_{2} x + b_{2}$ :
1. Если $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1} \neq = b_{2}$ — прямые параллельны, решений нет.
2. Если $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1} = b_{2}$ — прямые совпадают, бесконечно много решений.
3. Если $k_{1} \neq = k_{2}$ — прямые пересекаются, одно решение.

Чтобы ответить на вопрос о количестве решений без построения графика, необходимо привести каждое уравнение системы к виду линейной функции $y = k x + b$ .

Разбор пункта а)

В первом уравнении выразим $y$ через $x$ : $y = 2 x - 1$ . Коэффициент наклона $k = 2$ , свободный член $b = - 1$ .

Во втором уравнении также выразим $y$ : $3 y = 6 x + 2$ . Поделив обе части на $3$ , получим $y = 2 x + \frac{2}{3}$ .

Мы видим, что графики имеют одинаковый наклон ( $k = 2$ ), но пересекают ось ординат в разных точках. Такие прямые никогда не пересекутся.

Разбор пункта б)

Аналогично приведем уравнения к виду функции. В первом случае получаем $y = 2, 5 x + 3, 5$ .

Во втором уравнении после деления всех коэффициентов на $6$ мы приходим к абсолютно такому же выражению: $y = 2, 5 x + 3, 5$ .

Поскольку уравнения идентичны, их графики полностью накладываются друг на друга. Любая пара чисел, удовлетворяющая одному уравнению, автоматически удовлетворяет и второму.