Номер 1122 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Сколько лет брату и сколько лет сестре, если $2$ года назад брат был старше сестры в $2$ раза, а $8$ лет назад — в $5$ раз?

Краткое решение

Пусть $x$ — текущий возраст брата, а $y$ — текущий возраст сестры. Составим систему уравнений:

\begin{cases} x - 2 = 2(y - 2), \\ x - 8 = 5(y - 8); \end{cases}

\begin{cases} x - 2 = 2y - 4, \\ x - 8 = 5y - 40; \end{cases}

\begin{cases} x - 2y = 2 - 4, \\ x - 5y = 8 - 40; \end{cases}

\begin{cases} x - 2y = -2, \ | \times (-1) \\ x - 5y = -32; \end{cases}

\begin{cases} -x + 2y = 2, \\ x - 5y = -32; \end{cases}

-3y = -30,

x - 5y = -32;

\begin{cases} y = \frac{30}{3}, \\ x = 5y - 32; \end{cases}

\begin{cases} y = 10, \\ x = 5 \cdot 10 - 32; \end{cases}

\begin{cases} y = 10, \\ x = 50 - 32; \end{cases}

\begin{cases} y = 10, \\ x = 18. \end{cases}

Ответ: брату $18$ лет, сестре $10$ лет.

Подробное решение

📚 Теория: Задачи на возраст

При решении задач, в которых сравнивается возраст в разные периоды времени:
1. Вычитайте количество лет из возраста каждого человека, если речь идет о прошлом ( $x - n$ ).
2. Для приравнивания возрастов умножайте меньший возраст (сестры) на указанный коэффициент («в $k$ раз»).

Разбор хода решения:

Для определения текущего возраста составим математическую модель в виде системы уравнений.

Шаг 1: Обозначение неизвестных

Обозначим текущий возраст брата за $x$ лет, а сестры — за $y$ лет.

Шаг 2: Анализ условий

Два года назад: брату было $x - 2$ , а сестре $y - 2$ . Брат был старше в $2$ раза: $x - 2 = 2(y - 2)$ .
Восемь лет назад: брату было $x - 8$ , а сестре $y - 8$ . Брат был старше в $5$ раз: $x - 8 = 5(y - 8)$ .

Шаг 3: Вычисления

Мы привели систему к виду $x - 2y = -2$ и $x - 5y = -32$ . Используя метод сложения (умножив первое уравнение на $-1$ ), мы исключили $x$ и нашли, что сестре сейчас $10$ лет. Подставив значение $y$ в систему, получили текущий возраст брата — $18$ лет.

💡 Соседние задачи

Номер 1121