Номер 409 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

конус; развёртка боковой поверхности — сектор, дуга

27 0^{\circ}

Найти:

α

— угол между образующей и высотой

Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса l с дугой 270°

Конус: α — угол между образующей PB и высотой PO

Радиус сектора — образующая

l

; дуга сектора равна длине окружности основания:1

\frac{π l}{180} \cdot 270 = 2 π r \Rightarrow r = \frac{3}{4} l

α = ∠ OPB

— угол между образующей

PB

и высотой

PO

sin α = \frac{OB}{PB} = \frac{r}{l} = \frac{3}{4} \Rightarrow α = arcsin \frac{3}{4}

Ответ:

arcsin \frac{3}{4}

Пояснение

Идея. Развёртка даёт отношение $r : l$ : дуга сектора равна длине окружности основания. А это отношение — синус искомого угла в осевом сечении.

1Сектор с углом $n^{\circ}$ при сворачивании превращается в боковую поверхность: его радиус — образующая, а длина дуги $\frac{π l}{180} n$ — окружность основания (п. 41). Отсюда $r = \frac{n}{360} l$ .
2В прямоугольном треугольнике $POB$ катет $OB = r$ лежит напротив угла $α$ при вершине $P$ , гипотенуза равна $l$ .
3Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; угол при этом острый, и подходит $arcsin$ .

Проверка. Угол при вершине осевого сечения равен $2 α \approx 9 7^{\circ}$ : больше прямого, потому что дуга сектора $27 0^{\circ}$ больше трёх четвертей окружности.

Номер 409 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели