Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.63

Упражнение 2.63 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 45, 60 и 105;     в) 108, 72 и 96;

б) 162, 222 и 432;     г) 240, 480 и 720.

Краткое решение

а) 45=32⋅545 = 3^2 \cdot 5, 60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5, 105=3⋅5⋅7105 = 3 \cdot 5 \cdot 7:

НОД(45,60,105)=31⋅51=15\text{НОД}(45, 60, 105) = 3^1 \cdot 5^1 = 15

б) 162=2⋅34162 = 2 \cdot 3^4, 222=2⋅3⋅37222 = 2 \cdot 3 \cdot 37, 432=24⋅33432 = 2^4 \cdot 3^3:

НОД(162,222,432)=21⋅31=6\text{НОД}(162, 222, 432) = 2^1 \cdot 3^1 = 6

в) 108=22⋅33108 = 2^2 \cdot 3^3, 72=23⋅3272 = 2^3 \cdot 3^2, 96=25⋅396 = 2^5 \cdot 3:

НОД(108,72,96)=22⋅31=12\text{НОД}(108, 72, 96) = 2^2 \cdot 3^1 = 12

г) 240,480,720240, 480, 720:

Так как 480⋮240480 \vdots 240 и 720⋮240720 \vdots 240, НОД равен меньшему числу.

НОД(240,480,720)=240\text{НОД}(240, 480, 720) = 240

Ответ: а) 15; б) 6; в) 12; г) 240.

Подробное решение

Правило нахождения НОД:
НОД нескольких чисел равен произведению **общих** простых множителей, взятых с **наименьшим** показателем степени, который встречается во всех разложениях.

а) НОД(45, 60, 105)

Разложение:

45=32⋅545 = 3^2 \cdot 5
60=22⋅3⋅560 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
105=3⋅5⋅7105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

Общие множители: 3 и 5. Наименьшие степени: 313^1 и 515^1.

НОД=3⋅5=15\text{НОД} = 3 \cdot 5 = 15

б) НОД(162, 222, 432)

Разложение:

162=2⋅81=21⋅34162 = 2 \cdot 81 = 2^1 \cdot 3^4
222=2⋅111=21⋅31⋅371222 = 2 \cdot 111 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 37^1
432=2⋅216=24⋅33432 = 2 \cdot 216 = 2^4 \cdot 3^3

Общие множители: 2 и 3. (37 не является общим).

Наименьшие степени: 212^1 (сравниваем 21,21,242^1, 2^1, 2^4) и 313^1 (сравниваем 34,31,333^4, 3^1, 3^3).

НОД=2⋅3=6\text{НОД} = 2 \cdot 3 = 6

в) НОД(108, 72, 96)

Разложение:

108=22⋅33108 = 2^2 \cdot 3^3
72=23⋅3272 = 2^3 \cdot 3^2
96=25⋅396 = 2^5 \cdot 3

Общие множители: 2 и 3.

Наименьшие степени: 222^2 (сравниваем 22,23,252^2, 2^3, 2^5) и 313^1 (сравниваем 33,32,313^3, 3^2, 3^1).

НОД=22⋅3=4⋅3=12\text{НОД} = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12

г) НОД(240, 480, 720)

Проверим делимость:

480:240=2480 : 240 = 2
720:240=3720 : 240 = 3

Так как оба числа (480 и 720) делятся на наименьшее число (240), то НОД равен этому наименьшему числу.

НОД(240,480,720)=240\text{НОД}(240, 480, 720) = 240

Ответ: а) 15; б) 6; в) 12; г) 240.

💡 Похожие задачи

Задачи на нахождение НОД:

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...