Номер 61 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, либо увеличенное, либо уменьшенное на 1, делится на 6.

Проверьте утверждение на примерах. Возьмите простые числа из третьего десятка и из седьмого десятка.
Обсудите, из чего следует справедливость свойства.
Проведите доказательство.

Краткое решение

Проверка на примерах:

23 и 29 — простые числа из третьего десятка.

$23 - 1 = 22$ — не делится на 6.
$23 + 1 = 24$ — делится на 6.
$29 - 1 = 28$ — не делится на 6.
$29 + 1 = 30$ — делится на 6.

61, 67 — простые числа из шестого (седьмого) десятка.

$61 - 1 = 60$ — делится на 6.
$61 + 1 = 62$ — не делится на 6.
$67 - 1 = 66$ — делится на 6.
$67 + 1 = 68$ — не делится на 6.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства делимости

1. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
2. Любое простое число $p > 3$ — нечетное и не делится на 3.
3. Из трех последовательных чисел $p - 1, p, p + 1$ одно обязательно кратно 3.

Доказательство

Пусть $p$ — простое число, и $p > 5$ (или $p = 5$ ).

1. Делимость на 2

Так как $p$ — простое число больше 2, то оно нечетное. Значит, соседние с ним числа $p - 1$ и $p + 1$ являются четными. Следовательно, они оба делятся на 2.

2. Делимость на 3

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $p - 1, p, p + 1$ . Из трех подряд идущих чисел одно обязательно делится на 3.

Так как $p$ — простое число больше 3, то само $p$ на 3 не делится. Значит, на 3 делится либо $p - 1$ , либо $p + 1$ .

3. Итог

Мы выяснили, что:

Числа $p - 1$ и $p + 1$ оба делятся на 2.
Одно из чисел ( $p - 1$ или $p + 1$ ) делится на 3.

Следовательно, то число, которое делится на 3, одновременно делится и на 2. А если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Таким образом, либо $p - 1$ , либо $p + 1$ кратно 6.

💡 Похожие задачи

Номер 60