Номер 144, часть 1 — ГДЗ Вероятность и статистика 7 класс Высоцкий, Ященко

Нарисовать фигуру «одним росчерком» (не отрывая карандаша и не повторяя линий) — это найти в графе, у которого вершины — углы и точки пересечения линий, а рёбра — отрезки между ними, эйлеров путь (п. 21). Он существует, если граф связный и вершин нечётной степени не больше двух. При двух нечётных вершинах рисовать нужно из одной из них в другую, а если все вершины чётные — можно начать с любой и вернуться в неё же.

а) Открытый конверт. Назовём вершины: А — верхняя точка «крышки», Б и В — верхние углы прямоугольника, Г и Д — нижние углы, О — точка пересечения диагоналей. Рёбра: АБ, АВ, БВ, БГ, ВД, ГД и четыре половинки диагоналей БО, ОД, ВО, ОГ — всего 10. Степени: у Б и В по 4 (Б — А, В, Г, О), у О — 4, у А — 2, а у Г и Д — по 3 (Г — Б, Д, О). Нечётных вершин две — Г и Д. Значит, рисовать надо от одного нижнего угла до другого.

Маршрут: Г → Б → А → В → Б → О → Д → В → О → Г → Д. Рёбра на рисунке пронумерованы в порядке обхода: каждое пройдено ровно один раз, карандаш не отрывается.

б) Квадраты Льюиса Кэрролла. Три квадрата (синий, красный, зелёный) пересекаются в шести точках; в каждой точке пересечения встречаются четыре отрезка, поэтому степень такой вершины равна 4. У каждого из 12 углов степень 2. Все вершины чётные и граф связный, значит, эйлеров путь есть, причём замкнутый — можно начать с любой точки и вернуться в неё.

Маршрут для б) удобно составить из обходов самих квадратов. Начнём в точке К (пересечение синего и красного квадратов): 1) обойдём весь синий квадрат и вернёмся в К; 2) пойдём по красному квадрату от К вправо и вниз до точки Л (пересечение красного и зелёного); 3) в точке Л обойдём весь зелёный квадрат и вернёмся в Л; 4) продолжим красный квадрат от Л, пройдя его оставшуюся часть, пока не придём в К. Каждый отрезок пройден ровно один раз (проверено программой: 24 отрезка, один непрерывный маршрут).