Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 96, §22
№152. Приведите пример, показывающий, что следующее высказывание ложно:
а) «В любом равнобедренном треугольнике любая высота является биссектрисой треугольника»;
б) «Два угла, сумма которых равна 180°, являются смежными».
Дано:
высказывания: а) «в любом равнобедренном треугольнике любая высота является биссектрисой»; б) «два угла, сумма которых равна , являются смежными»
Найти:
примеры (контрпримеры), показывающие, что высказывания ложны
Чтобы показать, что высказывание о «любом» объекте ложно, достаточно одного примера — объекта, для которого утверждение не выполняется. Такой пример называют контрпримером.
а) В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, действительно служит и биссектрисой, и медианой. Но у треугольника три высоты, а утверждение говорит про любую. Возьмём равнобедренный треугольник с и углом при вершине , равным . Тогда .
Проведём высоту к боковой стороне . В прямоугольном треугольнике угол равен , поэтому . Тогда .
Углы и не равны, значит, высота не делит угол пополам и биссектрисой не является. Высказывание в пункте а) ложно.
б) Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. Для ложности достаточно двух углов с суммой , у которых такого расположения нет. Возьмём квадрат : его углы и — прямые, . Но общей стороны у этих углов нет (они стоят при противоположных вершинах), поэтому смежными они не являются. Высказывание в пункте б) ложно.
Другой пример для б): углы и — односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей. Их сумма , но они не смежные.
Ответ: а) Например, равнобедренный треугольник с углом при вершине : высота к боковой стороне делит угол на и , то есть не является биссектрисой; б) например, прямые углы и квадрата : сумма , но они не смежные.
