Учебник «Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 1, с. 92, §21*
№145. Придумайте способ обвести фигуру, изображённую на рисунке 39, одним росчерком (не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды).
а) восьмиугольник со «звездой»; б) пять кругов.
Дано:
рисунок 39: а) восьмиугольник со звездой; б) пять кругов
Найти:
способ обвести каждую фигуру одним росчерком
Обвести фигуру одним росчерком — значит найти эйлеров путь в графе, вершины которого — углы и точки пересечения линий (п. 21). Признак: если граф связный и все его вершины имеют чётную степень, то есть замкнутый эйлеров путь, и начать можно с любой вершины.
а) Восьмиугольник со «звездой». Вершины — восемь углов восьмиугольника А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З (по кругу). Точки, где линии «звезды» пересекаются внутри, вершинами делать не нужно: карандаш просто проходит их насквозь, не поворачивая. Рёбер 16: восемь сторон и восемь длинных отрезков — из каждого угла к угловой точке «через два угла» (А—Г, Г—Ж, Ж—Б, Б—Д, Д—З, З—В, В—Е, Е—А). Из каждого угла выходят два ребра-стороны и два длинных отрезка, поэтому степень каждой из восьми вершин равна 4 — все степени чётные.
Способ: сначала обведём восьмиугольник по сторонам А → Б → В → Г → Д → Е → Ж → З → А (рёбра 1–8), а затем, оставаясь в точке А, обведём «звезду», каждый раз перескакивая через два угла: А → Г → Ж → Б → Д → З → В → Е → А (рёбра 9–16). Все 16 отрезков пройдены по одному разу — маршрут проверен программой.
б) Пять кругов. Точки, где окружности пересекаются, — вершины: их 14, а в каждой пересекаются две окружности, то есть сходятся четыре дуги: степень 4. Граф связный и все вершины чётные — фигуру можно обвести одним росчерком. Удобный способ — составлять маршрут из обходов целых кругов. Пронумеруем круги: (1) — левый нижний, (2) — средний нижний, (3) — правый нижний, (4) — правый верхний, (5) — левый верхний; соседние в этой цепочке круги пересекаются. Отметим точки их пересечения: А — круги (1) и (2), Б — (2) и (3), В — (3) и (4), Г — (4) и (5).
Маршрут (всё время идём по одной стороне, куда начали): 1) начинаем в точке А и обходим круг (1) целиком, возвращаясь в А; 2) от А идём по кругу (2) до Б; 3) от Б идём по кругу (3) до В; 4) от В идём по кругу (4) до Г; 5) в точке Г обходим круг (5) целиком и возвращаемся в Г; 6) продолжаем круг (4) от Г до В; 7) продолжаем круг (3) от В до Б; 8) продолжаем круг (2) от Б до А. Каждый круг пройден ровно один раз — значит, и каждая дуга. Попутно карандаш проходит через остальные точки пересечения (например, круга (2) с кругами (4) и (5)), не сворачивая.
Другие маршруты тоже возможны: подойдёт любой, который идёт по каждой дуге один раз.
Ответ: а) А → Б → В → Г → Д → Е → Ж → З → А (стороны), затем А → Г → Ж → Б → Д → З → В → Е → А («звезда»). б) Круг (1) целиком из точки А; затем А → Б по кругу (2), Б → В по кругу (3), В → Г по кругу (4), круг (5) целиком из Г; затем Г → В по кругу (4), В → Б по кругу (3), Б → А по кругу (2).
