Номер 408 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Угол между плоскостью сечения и основанием — линейный угол двугранного угла при хорде $AB$. Для его построения нужна середина хорды: из неё идут два перпендикуляра к $AB$.

1. 1Треугольник $PAB$ равнобедренный ($PA=PB$), поэтому медиана $PM$ — высота. Радиус $OM$, проведённый к середине хорды, тоже перпендикулярен $AB$. Угол между перпендикулярами к ребру $AB$ в двух гранях — линейный угол двугранного угла.
2. 2Центральный угол $120^{\circ }$ делится высотой треугольника $AOB$ пополам. Из прямоугольных треугольников $AOM$ находим $OM$ и $AM$.
3. 3$PO$ — высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, значит, $\angle POM=90^{\circ }$ и $PM$ — гипотенуза: $OM=PM\cos 45^{\circ }$.
4. 4Площадь треугольника — половина основания $AB$ на высоту $PM$.

Проверка. Площадь проекции сечения на основание — площадь $△AOB$: $\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \sin 120^{\circ }=4\sqrt{3}$. Делим на $\cos 45^{\circ }$: $4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{6}$.