Главная / 6 класс / Математика Виленкин / 2.118

Упражнение 2.118 - ГДЗ Математика 6 класс Виленкин

а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?

б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n−16n - 1 или 6n+16n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для nn, равного 87, 135 и 165.

в) Не все пары чисел вида 6k−16k - 1 и 6k+16k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k−16k - 1 и 6k+16k + 1, которые не являются числами-близнецами.

Краткое решение

а) Пары чисел-близнецов до 500: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463). Всего: 24 пары.

б) Проверяем пары (6n−1,6n+1)(6n-1, 6n+1):

в) Двузначные пары (6k−1,6k+1)(6k-1, 6k+1), не являющиеся близнецами:

(23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811); в) (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).

Подробное решение

Правило: «Числа-близнецы» — это два простых числа, разница между которыми равна 2. Например, (3, 5), (11, 13).

а) Пары чисел-близнецов до 500

Выписав все простые числа до 500, найдем среди них пары, отличающиеся на 2:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Подсчитав количество пар, получаем: 24 пары.

б) Проверка пар вида (6n−1,6n+1)(6n - 1, 6n + 1)

Хотя в условии сказано "или", имеется в виду, что пара чисел-близнецов (кроме 3 и 5) всегда образуется вокруг числа, кратного 6, то есть имеет вид (6n−1,6n+1)(6n - 1, 6n + 1). Проверим заданные nn:

Для n = 87:

6⋅87−1=522−1=5216 \cdot 87 - 1 = 522 - 1 = 521
6⋅87+1=522+1=5236 \cdot 87 + 1 = 522 + 1 = 523

Числа 521 и 523 оба являются простыми. Это пара чисел-близнецов.

Для n = 135:

6⋅135−1=810−1=8096 \cdot 135 - 1 = 810 - 1 = 809
6⋅135+1=810+1=8116 \cdot 135 + 1 = 810 + 1 = 811

Числа 809 и 811 оба являются простыми. Это пара чисел-близнецов.

Для n = 165:

6⋅165−1=990−1=9896 \cdot 165 - 1 = 990 - 1 = 989
6⋅165+1=990+1=9916 \cdot 165 + 1 = 990 + 1 = 991

Число 991 является простым, но 989 — составное (989=23⋅43989 = 23 \cdot 43). Эта пара не является числами-близнецами.

в) Двузначные пары (6k−1,6k+1)(6k - 1, 6k + 1), не являющиеся близнецами

Нам нужно, чтобы 10≤6k−110 \le 6k - 1 (т.е. 6kge116k ge 11, kge2k ge 2) и 6k+1le996k + 1 le 99 (т.е. 6kle986k le 98, kle16k le 16). Проверим все kk от 2 до 16.

  • k=2: (11, 13) - близнецы.
  • k=3: (17, 19) - близнецы.
  • k=4: (23, 25) - не близнецы (25 не простое).
  • k=5: (29, 31) - близнецы.
  • k=6: (35, 37) - не близнецы (35 не простое, 37 простое).
  • k=7: (41, 43) - близнецы.
  • k=8: (47, 49) - не близнецы (49 не простое).
  • k=9: (53, 55) - не близнецы (55 не простое).
  • k=10: (59, 61) - близнецы.
  • k=11: (65, 67) - не близнецы (65 не простое).
  • k=12: (71, 73) - близнецы.
  • k=13: (77, 79) - не близнецы (77 не простое).
  • k=14: (83, 85) - не близнецы (85 не простое).
  • k=15: (89, 91) - не близнецы (91 не простое, 91=7⋅1391 = 7 \cdot 13).
  • k=16: (95, 97) - не близнецы (95 не простое).

Искомые пары: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).

Ответ:

  • а) 24 пары.
  • б) (521, 523) и (809, 811). Пара (989, 991) не подходит, так как 989 — составное число.
  • в) (23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).

💡 Похожие задачи

Эта задача на глубокое понимание простых чисел и их свойств.

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...