Номер 1060 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители:

а) $1 + a - a^{2} - a^{3}$ ;
б) $8 - b^{3} + 4 b - 2 b^{2}$ .

Краткое решение

а) 1 + a - a^{2} - a^{3} =

= (1 + a) - (a^{2} + a^{3}) =

= (1 + a) - a^{2} (1 + a) =

= (1 + a) (1 - a^{2}) =

= (1 + a) (1 - a) (1 + a) =

= (1 + a)^{2} (1 - a) .

б) 8 - b^{3} + 4 b - 2 b^{2} =

= (8 - b^{3}) + (4 b - 2 b^{2}) =

= (2 - b) (4 + 2 b + b^{2}) + 2 b (2 - b) =

= (2 - b) (4 + 2 b + b^{2} + 2 b) =

= (2 - b) (b^{2} + 4 b + 4) =

= (2 - b) (b + 2)^{2} .

Подробное решение

📚 Теория: Комбинированные методы

Для разложения на множители применяются следующие приемы:
1. Метод группировки: объединение слагаемых в пары для вынесения общего множителя.
2. Разность квадратов/кубов: использование формул $x^{2} - y^{2}$ и $x^{3} - y^{3}$ .
3. Полный квадрат: сворачивание выражения по формуле $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ .

Разбор пункта а)

Сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым и третье с четвертым. Из второй группы вынесем $- a^{2}$ :

(1 + a) - a^{2} (1 + a)

Теперь вынесем общую скобку $(1 + a)$ . Оставшееся выражение $(1 - a^{2})$ разложим как разность квадратов:

(1 + a) (1 - a) (1 + a) = (1 + a)^{2} (1 - a)

Разбор пункта б)

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два. К первой группе применим формулу разности кубов $8 - b^{3} = (2 - b) (4 + 2 b + b^{2})$ . Из второй группы вынесем $2 b$ :

(2 - b) (4 + 2 b + b^{2}) + 2 b (2 - b)

Вынесем общий множитель $(2 - b)$ за скобки. Внутри второй скобки получится квадрат суммы:

(2 - b) (4 + 2 b + b^{2} + 2 b) = (2 - b) (b^{2} + 4 b + 4) = (2 - b) (b + 2)^{2}