Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 744

Номер 744 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что если целые числа aa и bb при делении на 33 дают разные остатки (не равные нулю), то число ab+1ab + 1 делится на 33.

Краткое решение

Остатки при делении на 33 могут быть только 11 и 22.

a=3n+1,b=3k+2a = 3n + 1, \quad b = 3k + 2
ab+1=(3n+1)(3k+2)+1=ab + 1 = (3n + 1)(3k + 2) + 1 =
=9nk+6n+3k+2+1=3(3nk+2n+k+1)= 9nk + 6n + 3k + 2 + 1 = 3(3nk + 2n + k + 1)

Выражение содержит множитель 33, значит оно делится на 33. Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Остатки при делении

Любое целое число при делении на 33 может давать остаток 0,10, 1 или 22. По условию остатки не равны нулю и они разные, значит одно число даёт остаток 11, а другое — 22.

Подробное доказательство

Проведём доказательство, используя алгебраическую запись чисел с остатками:

1. Запись чисел

Так как числа aa и bb при делении на 33 дают разные ненулевые остатки, мы можем записать их так:

  • Первое число: a=3n+1a = 3n + 1 (остаток 1)
  • Второе число: b=3k+2b = 3k + 2 (остаток 2)

Здесь nn и kk — любые целые числа.

2. Преобразование выражения ab+1ab + 1

Подставим наши выражения в формулу и раскроем скобки:

ab+1=(3n+1)(3k+2)+1ab + 1 = (3n + 1)(3k + 2) + 1

Перемножим многочлены:

ab+1=3n⋅3k+3n⋅2+1⋅3k+1⋅2+1ab + 1 = 3n \cdot 3k + 3n \cdot 2 + 1 \cdot 3k + 1 \cdot 2 + 1
ab+1=9nk+6n+3k+2+1ab + 1 = 9nk + 6n + 3k + 2 + 1
ab+1=9nk+6n+3k+3ab + 1 = 9nk + 6n + 3k + 3

3. Проверка делимости

Заметим, что в полученном выражении каждое слагаемое имеет числовой коэффициент, делящийся на 33. Вынесем 33 за скобки:

ab+1=3⋅(3nk+2n+k+1)ab + 1 = 3 \cdot (3nk + 2n + k + 1)

Поскольку один из множителей равен 33, всё произведение гарантированно делится на 33 без остатка. Что и требовалось доказать.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...