Номер 748 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите целое число, которое как при делении на $5$ , так и при делении на $7$ даёт остаток $1$ , причём первое частное на $4$ больше второго.

Краткое решение

Пусть $a$ — искомое число.

a = 5 k + 1 и a = 7 m + 1

$k = m + 4$ , тогда

a = 5 (m + 4) + 1 =

= 5 m + 20 + 1 = 5 m + 21

5 m + 21 = 7 m + 1

5 m - 7 m = 1 - 21

- 2 m = - 20

m = \frac{20}{2}

m = 10

a = 7 \cdot 10 + 1 = 70 + 1 = 71.

Ответ: 71.

Любое число при делении с остатком можно записать в виде:

a = b \cdot q + r

Где

b

— делитель,

q

— частное,

r

— остаток. По условию остаток

r = 1

для обоих случаев деления.

Для решения задачи составим математическую модель, используя два способа записи одного и того же числа:

Нам известно, что число $a$ даёт остаток $1$ при делении на $5$ и на $7$ . Обозначим частные как $k$ и $m$ соответственно:

В условии сказано, что первое частное на 4 больше второго, значит: $k = m + 4$ .

Подставим выражение для $k$ в первую формулу и приравняем оба выражения для $a$ :

5 (m + 4) + 1 = 7 m + 1

Раскрываем скобки и упрощаем:

5 m + 20 + 1 = 7 m + 1

5 m + 21 = 7 m + 1

Переносим слагаемые с $m$ в одну сторону, а числа в другую:

21 - 1 = 7 m - 5 m

20 = 2 m ⟹ m = 10

Теперь подставим $m = 10$ во вторую формулу числа $a$ :

a = 7 \cdot 10 + 1 = 71