Номер 749 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что произведение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ делится на $6$ при любом натуральном $n$ .

Краткое решение

6 = 2 \cdot 3

Делимость на 2:

Если $n$ чётное число, то в произведении $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ множитель $n$ делится на $2$ и всё произведение делится на $2$ .

Если $n$ нечётное число, то $7 n$ нечётное число, а значит $7 n + 1$ — чётное число, тогда в произведении $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ множитель $(7 n + 1)$ делится на $2$ и всё произведение делится на $2$ .

Делимость на 3:

Если $n = 3 k$ , то $n$ делится на $3$ , тогда и произведение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ делится на $3$ .

Если $n = 3 k + 1$ , то:

2 n + 1 = 2 (3 k + 1) + 1 = 6 k + 2 + 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)

— делится на $3$ , значит, множитель $2 n + 1$ делится на $3$ , тогда и произведение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ делится на $3$ .

Если $n = 3 k + 2$ , то:

7 n + 1 = 7 (3 k + 2) + 1 = 21 k + 14 + 1 = 21 k + 15 = 3 (7 k + 5)

— делится на $3$ , значит, множитель $7 n + 1$ делится на $3$ , тогда и произведение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ делится на $3$ .

Произведение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ делится и на $2$ , и на $3$ при любом натуральном $n$ , значит, делится и на $6$ .

Подробное решение

📚 Теория: Признак делимости на 6

Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на $2$ (является чётным) и на $3$ .

Подробный разбор доказательства

Для доказательства того, что выражение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ кратно $6$ , необходимо подтвердить его делимость на $2$ и на $3$ по отдельности.

1. Делимость на 2

Рассмотрим чётность натурального числа $n$ :

Если $n$ — чётное, то первый множитель делится на $2$ , а значит и всё произведение чётно.
Если $n$ — нечётное, то множитель $(7 n + 1)$ будет чётным (нечётное число, умноженное на $7$ , даёт нечётное, а прибавление $1$ делает результат чётным). Произведение снова делится на $2$ .

2. Делимость на 3

Любое число $n$ при делении на $3$ может давать один из трёх остатков: $0$ , $1$ или $2$ :

Остаток 0 ( $n = 3 k$ ): Множитель $n$ кратен трём, следовательно, произведение делится на $3$ .
Остаток 1 ( $n = 3 k + 1$ ): Подставим это значение во второй множитель:
$2 (3 k + 1) + 1 = 6 k + 2 + 1 = 6 k + 3 = 3 (2 k + 1)$ .
Множитель делится на $3$ , значит и всё произведение делится на $3$ .
Остаток 2 ( $n = 3 k + 2$ ): Подставим значение в третий множитель:
$7 (3 k + 2) + 1 = 21 k + 14 + 1 = 21 k + 15 = 3 (7 k + 5)$ .
Множитель кратен трём, следовательно, произведение делится на $3$ .

Так как произведение $n (2 n + 1) (7 n + 1)$ делится на $2$ и на $3$ при любом $n$ , оно обязательно делится на их произведение — на $6$ .