Найдутся ли такие целые значения x, при которых значение многочлена:
- а) 2x2+6x+3 окажется чётным числом;
- б) x2+x+2 окажется нечётным числом?
Краткое решение
а) 2x2+6x+32x2 — чётно, 6x — чётно, тогда
2x2+6x — чётное число, а
2x2+6x+3 — нечётное число, значит, для любого целого x выражение нечётно, и не найдётся x, при котором оно было бы чётным.
б) x2+x+2x2+x=x(x+1) — произведение двух подряд идущих целых — чётное число. Тогда
x2+x+2 — чётное число, значит, для любого целого x выражение чётно, и не найдётся x, при котором оно было бы нечётным.
Подробное решение
📚 Теория: Свойства чётности
При решении задач на чётность используются следующие правила:
- Сумма двух чётных чисел всегда чётна.
- Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.
- Произведение двух последовательных целых чисел x(x+1) всегда чётно, так как одно из них обязательно делится на 2.
Подробный разбор решения
Анализ пункта а)
Рассмотрим слагаемые многочлена 2x2+6x+3:
- Первое слагаемое 2x2 содержит множитель 2, поэтому оно чётно при любом целом x.
- Второе слагаемое 6x также делится на 2 (так как 6 — чётное), значит, оно всегда чётно.
- Сумма первых двух слагаемых 2x2+6x является суммой двух чётных чисел, то есть числом чётным.
- Третье слагаемое 3 — нечётное число.
Прибавляя к чётному числу нечётную тройку, мы всегда будем получать нечётный результат. Следовательно, чётных значений у данного многочлена быть не может.
Анализ пункта б)
Преобразуем выражение x2+x+2, сгруппировав переменные:
x(x+1)+2
- Выражение x(x+1) представляет собой произведение двух целых чисел, идущих друг за другом. В любой такой паре одно число обязательно чётное, а другое — нечётное. Их произведение всегда будет чётным.
- Число 2 — чётное.
- Сумма двух чётных величин x(x+1)+2 всегда даёт чётное число.
Таким образом, при любых целых x значение многочлена остаётся чётным, и получить нечётный результат невозможно.
