Номер 407 — ГДЗ Геометрия 11 класс Атанасян

Пояснение

Идея. В отношении площадей радиус и образующая входят однородно, поэтому остаётся только отношение $l:r$. Оно же и задаёт косинус искомого угла.

1. 1Площадь боковой поверхности конуса $\pi rl$, полной — плюс площадь основания $\pi r^2$ (п. 41). Общий множитель $\pi r$ выносится.
2. 2Отношение сводится к $\frac{l}{l+r}$. Из пропорции $8l=7(l+r)$ находим $l=7r$.
3. 3Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией. Высота $PO$ перпендикулярна основанию, значит, проекция образующей $PB$ — радиус $OB$. В прямоугольном треугольнике $POB$ косинус угла $B$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Проверка. $\arccos \frac{1}{7}\approx 81,8^{\circ }$: образующая почти вертикальна, конус узкий, а $S_{\text{бок}}$ составляет большую часть всей поверхности — так и должно быть.