В результате перестановки цифр двузначного числа оно увеличилось на 54. Найдите это число.
Краткое решение
Пусть x — цифра десятков, y — цифра единиц.
Само число: 10x+y. Число после перестановки: 10y+x.
Составим уравнение по условию:
(10y+x)−(10x+y)=54 9y−9x=54∣:9 y−x=6, откуда y=x+6. Подберём возможные значения цифр:
1)x=1⟹y=7→17; 2)x=2⟹y=8→28; 3)x=3⟹y=9→39. Ответ: 17, 28 или 39.
Подробное решение
📚 Теория: Позиционная запись числа
Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых: 10x+y, где x — количество десятков (1≤x≤9), а y — количество единиц (0≤y≤9). При перестановке цифр меняются весовые коэффициенты разрядов.
Ход решения
1. Обозначим исходное двузначное число как overlinexy, что равно 10x+y.
2. Новое число после перестановки цифр — overlineyx, что равно 10y+x.
3. По условию задачи разность между новым и старым числом равна 54:
(10y+x)−(10x+y)=54 4. Упростим уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
10y+x−10x−y=54⟹9y−9x=54 5. Разделим обе части на 9: y−x=6. Это означает, что цифра единиц должна быть на 6 больше цифры десятков.
6. Переберем все возможные варианты для цифр:
- Если x=1, то y=7. Число — 17. Проверка: 71−17=54.
- Если x=2, то y=8. Число — 28. Проверка: 82−28=54.
- Если x=3, то y=9. Число — 39. Проверка: 93−39=54.
Других вариантов нет, так как при x=4 цифра y должна была бы стать равной 10, что невозможно.
