Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 6 — остаток 2.
Краткое решение
Пусть n — искомое число. Запишем условия:
n=5k+1(1) n=6m+2(2) Приравняем правые части:
5k+1=6m+2 5k=6m+1 Методом подбора для наименьшего m:
m=0⟹5k=1(нет); m=1⟹5k=7(нет); m=4⟹5k=25⟹k=5. Вычислим n:
n=5⋅5+1=26. Ответ: 26.
Подробное решение
📚 Теория: Деление с остатком
Любое число n, дающее при делении на a остаток r, можно представить в виде n=aq+r, где q — неполное частное. Решение задач с несколькими условиями деления сводится к поиску целых решений соответствующего уравнения.
Ход решения
1. Согласно условию деления на 5 с остатком 1, число можно записать как n=5k+1.
2. Согласно условию деления на 6 с остатком 2, это же число равно n=6m+2.
3. Составим уравнение, приравняв два выражения для одного и того же числа n:
5k+1=6m+2⟹5k−6m=1 4. Нам нужно найти наименьшее натуральное n. Будем последовательно подставлять значения m (частное от деления на 6) и проверять делимость на 5:
- Если m=1, то 5k=6⋅1+1=7 (7 не делится на 5).
- Если m=2, то 5k=6⋅2+1=13 (13 не делится на 5).
- Если m=3, то 5k=6⋅3+1=19 (19 не делится на 5).
- Если m=4, то 5k=6⋅4+1=25. 25 делится на 5, значит k=5.
5. Найдем число n: подставим k=5 в первую формулу или m=4 во вторую:
n=5⋅5+1=26илиn=6⋅4+2=26. Проверка: 26/5=5 (ост. 1) и 26/6=4 (ост. 2). Все верно.
