Номер 1208 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

Дано:

Круг вписан в равносторонний треугольник $(a)$ , прямоугольный треугольник $(a, α)$ , равнобедренный треугольник $(a, α)$ и равнобедренную трапецию $(a, α)$

Найти:

$S$ — площадь круга

Чертёж к задаче 1208 — окружности, вписанные в равносторонний, прямоугольный и равнобедренный треугольники и в равнобедренную трапецию

Решение:

а) Равносторонний треугольник (сторона a) :

Отрезок от вершины до точки касания x = \frac{a}{2} .

r = x tg \frac{6 0 ^{\circ}}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{a}{2 3}

S = π r^{2} = π (\frac{a}{2 3})^{2} = \frac{π a ^{2}}{12}

б) Прямоугольный треугольник (катет a, угол α) :

Отрезок от вершины α до касания : x = a - r .

r = x tg \frac{α}{2} = (a - r) tg \frac{α}{2}

r (1 + tg \frac{α}{2}) = a tg \frac{α}{2} ⟹ r = \frac{a tg \frac{α}{2}}{1 + tg \frac{α}{2}}

S = π r^{2} = π (\frac{a tg \frac{α}{2}}{1 + tg \frac{α}{2}})^{2}

в) Равнобедренный треугольник (бок . a, угол α) :

Основание b = 2 a sin \frac{α}{2} .

Отрезок касательной от вершины α равен p - b = a - \frac{b}{2} .

x = a - a sin \frac{α}{2} = a (1 - sin \frac{α}{2})

r = x tg \frac{α}{2} = a (1 - sin \frac{α}{2}) tg \frac{α}{2}

S = π r^{2} = π a^{2} (1 - sin \frac{α}{2})^{2} tg^{2} \frac{α}{2}

г) Равнобедренная трапеция (больш . осн . a, остр . ∠ α) :

Центр окружности лежит на пересечении биссектрис .

Окружность касается большего основания в его середине,

поэтому отрезок от вершины до точки касания x = \frac{a}{2} .

r = x tg \frac{α}{2} = \frac{a}{2} tg \frac{α}{2}

S = π r^{2} = \frac{π a ^{2}}{4} tg^{2} \frac{α}{2}

Ответ: а) $\frac{π a ^{2}}{12}$ ; б) $π (\frac{a tg \frac{α}{2}}{1 + tg \frac{α}{2}})^{2}$ ; в) $π a^{2} (1 - sin \frac{α}{2})^{2} tg^{2} \frac{α}{2}$ ; г) $\frac{π a ^{2}}{4} tg^{2} \frac{α}{2}$ .

Номер 1208 — ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян

🕒 Вы недавно смотрели