Номер 1056 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Купили тетради в линейку по 10 р. и в клетку по 15 р., затратив на всю покупку 320 р.:

а) Выясните, можно ли при указанном условии купить одинаковое количество тетрадей в линейку и в клетку?
б) Укажите все возможные пары, которые можно составить из числа тетрадей в линейку и числа тетрадей в клетку при указанном условии.
в) Найдите максимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.
г) Найдите минимальное количество тетрадей, которые можно купить при указанном условии.

Краткое решение

а) Пусть $x$ — число тетрадей в линейку, $y$ — число тетрадей в клетку.

Составим уравнение:

10x + 15y = 320; \quad | : 5

2x + 3y = 64.

При $x = y$ :

2x + 3x = 64;

5x = 64 \implies x = 12,8

— нет целого решения, следовательно, одинаковое число купить нельзя.

б) Выразим $x$ через $y$ :

x = \frac{64 - 3y}{2}.

Чтобы $x$ было целым, числитель должен быть чётным, то есть $y$ чётно.

Перебирая $y = 2, 4, 6 \dots$ , пока $x \ge 0$ , получаем пары:

(x, y) = (29, 2), (26, 4), (23, 6),

(20, 8), (17, 10), (14, 12), (11, 14),

(8, 16), (5, 18), (2, 20).

в) Для каждой пары найдём сумму $x + y$ .

Максимальная сумма равна:

29 + 2 = 31.

г) Минимальная сумма равна:

2 + 20 = 22.

Ответ: одинаковое число тетрадей купить нельзя; возможные пары перечислены; максимум 31, минимум 22.

Подробное решение

📚 Теория: Анализ решений линейного уравнения

Для решения подобных задач на поиск оптимальных вариантов:
1. Составляется уравнение вида $ax + by = c$ и упрощается делением на общий множитель.
2. Проверяется условие равенства переменных ( $x = y$ ).
3. Находятся все целые положительные решения путём перебора.
4. Максимальное количество предметов достигается при наибольшем значении переменной с меньшим коэффициентом.

Разбор пункта а)

Обозначим тетради в линейку за $x$ , в клетку — за $y$ . Исходное уравнение $10x + 15y = 320$ после сокращения на 5 принимает вид $2x + 3y = 64$ . Если предположить, что тетрадей поровну, то $2x + 3x = 64$ , откуда $5x = 64$ . Так как $64$ не делится на $5$ нацело ( $x = 12,8$ ), купить одинаковое количество тетрадей невозможно.

Разбор пункта б)

Чтобы найти все возможные пары, выразим $x = (64 - 3y) / 2$ . Для того чтобы $x$ был целым, число $y$ должно быть чётным. Последовательно подставляя $y = 2, 4, 6, dots$ , мы находим 10 возможных комбинаций. Самая «дешёвая» по количеству клетчатых тетрадей пара — $(29; 2)$ , самая «дорогая» — $(2; 20)$ .

Разбор пунктов в) и г)

Суммарное количество тетрадей $S = x + y$ зависит от распределения бюджета:

Максимум: При $x = 29$ и $y = 2$ мы получаем $31$ тетрадь. Это происходит, когда мы покупаем как можно больше дешёвых тетрадей в линейку.
Минимум: При $x = 2$ и $y = 20$ мы получаем всего $22$ тетради. Это происходит при максимальной закупке более дорогих тетрадей в клетку.