Номер 1112 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Имеет ли решения система уравнений и сколько:

а) $\begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21? \end{cases}$

Краткое решение

а)

\begin{cases} 2x - y = 1, \\ -6x + 3y = 2; \end{cases}

\begin{cases} y = 2x - 1, \\ 3y = 6x + 2; \ | \ : 3 \end{cases}

\begin{cases} y = 2x - 1, \\ y = 2x + \frac{2}{3}; \end{cases}

Угловые коэффициенты одинаковые, а точки пересечения с осью $y$ различны, значит, прямые параллельны.

Ответ: система не имеет решений, так как прямые параллельны.

б)

\begin{cases} -5x + 2y = 7, \\ 15x - 6y = -21; \end{cases}

\begin{cases} 2y = 5x + 7, \ | \ : 2 \\ 6y = 15x + 21; \ | \ : 6 \end{cases}

\begin{cases} y = \frac{5}{2}x + \frac{7}{2}, \\ y = \frac{15}{6}x + \frac{21}{6}; \ | \ : 6 \end{cases}

\begin{cases} y = 2,5x + 3,5, \\ y = 2,5x + 3,5 \end{cases}

Уравнения совпали, значит, любая точка прямой является решением.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, так как уравнения совпадают.

Подробное решение

📚 Теория: Анализ количества решений

Для определения количества решений системы вида $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ :
1. Если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$ — прямые параллельны, решений нет.
2. Если $k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$ — прямые совпадают, бесконечно много решений.
3. Если $k_1 \neq k_2$ — прямые пересекаются, одно решение.

Чтобы ответить на вопрос о количестве решений без построения графика, необходимо привести каждое уравнение системы к виду линейной функции $y = kx + b$ .

Разбор пункта а)

В первом уравнении выразим $y$ через $x$ : $y = 2x - 1$ . Коэффициент наклона $k = 2$ , свободный член $b = -1$ .

Во втором уравнении также выразим $y$ : $3y = 6x + 2$ . Поделив обе части на $3$ , получим $y = 2x + \frac{2}{3}$ .

Мы видим, что графики имеют одинаковый наклон ( $k = 2$ ), но пересекают ось ординат в разных точках. Такие прямые никогда не пересекутся.

Разбор пункта б)

Аналогично приведем уравнения к виду функции. В первом случае получаем $y = 2,5x + 3,5$ .

Во втором уравнении после деления всех коэффициентов на $6$ мы приходим к абсолютно такому же выражению: $y = 2,5x + 3,5$ .

Поскольку уравнения идентичны, их графики полностью накладываются друг на друга. Любая пара чисел, удовлетворяющая одному уравнению, автоматически удовлетворяет и второму.