Номер 1105 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Прямая $y = k x + b$ проходит через точки $A (- 1; 3)$ и $B (2; - 1)$ . Напишите уравнение этой прямой.

Краткое решение

y = k x + b

{3 = k \cdot (- 1) + b, - 1 = k \cdot 2 + b;

{- k + b = 3, 2 k + b = - 1 ∣ \times (- 1);

{- k + b = 3, - 2 k - b = 1;

{- 3 k = 4, - k + b = 3;

{k = - \frac{4}{3}, b = 3 + k;

{k = - 1 \frac{1}{3}, b = 3 - 1 \frac{1}{3};

{k = - 1 \frac{1}{3}, b = 1 \frac{2}{3};

y = - 1 \frac{1}{3} x + 1 \frac{2}{3}

Ответ: $y = - 1 \frac{1}{3} x + 1 \frac{2}{3}$

Подробное решение

📚 Теория: Уравнение прямой через две точки

Для того чтобы составить уравнение прямой $y = k x + b$ , необходимо подставить координаты точек $A (x_{1}; y_{1})$ и $B (x_{2}; y_{2})$ в формулу функции. Это создаст систему из двух линейных уравнений, решение которой позволит найти коэффициенты $k$ и $b$ .

Чтобы найти формулу функции $y = k x + b$ , график которой проходит через точки $A (- 1; 3)$ и $B (2; - 1)$ , выполним следующие действия:

1. Подстановка координат в уравнение

Каждая точка дает нам уравнение:

Подставим координаты $A (- 1; 3)$ : $3 = k \cdot (- 1) + b ⟹ - k + b = 3$ .
Подставим координаты $B (2; - 1)$ : $- 1 = k \cdot 2 + b ⟹ 2 k + b = - 1$ .

2. Решение системы уравнений

Запишем систему:

{- k + b = 3 2 k + b = - 1

Решим её методом сложения. Умножим первое уравнение на $- 1$ :

{k - b = - 3 2 k + b = - 1

Складываем уравнения:

3 k = - 4 ⟹ k = - \frac{4}{3} = - 1 \frac{1}{3}

Теперь найдем $b$ , подставив $k$ в уравнение $- k + b = 3$ :

b = 3 + k = 3 - 1 \frac{1}{3} = 1 \frac{2}{3}

3. Итоговое уравнение

Подставляем найденные значения в общую формулу:

y = - 1 \frac{1}{3} x + 1 \frac{2}{3}