Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением составило бы систему: а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.
а) Одно решение:
Ответ: (-0,2; 0,6).
б) Бесконечно много решений:
Уравнения пропорциональны.
в) Не имеет решений:
Прямые параллельны.
Количество решений системы зависит от вида функций y = kx + b:
Нам дано уравнение 10x + 5y = 1. Чтобы с ним было удобно работать, выразим переменную y через x.
Перенесем 10x в правую часть с противоположным знаком: 5y = -10x + 1. Теперь разделим каждое слагаемое на 5:
Теперь мы видим «скелет» нашей функции: угловой коэффициент k = -2 и свободный член b = 0,2. Это будет нашей базой для подбора.
Чтобы прямые пересеклись в одной точке, нам нужно любое уравнение, у которого коэффициент перед x не равен -2. Возьмем уравнение y = 2x + 1. Здесь k = 2, а у нас было -2. Они разные, значит решение точно будет.
Проверим это решение методом подстановки:
Подставим наше новое выражение для y в исходное уравнение 10x + 5y = 1:
Раскроем скобки: 10x + 10x + 5 = 1. Приведем подобные: 20x = 1 - 5. Получаем 20x = -4. Разделим на 20 и найдем x = -0,2.
Теперь найдем y: y = 2 · (-0,2) + 1 = -0,4 + 1 = 0,6. Мы доказали, что система имеет ровно одно решение (-0,2; 0,6).
Для этого нужно, чтобы второе уравнение было «клоном» первого. Самый простой способ получить такое уравнение — умножить всё исходное уравнение на любое число, например на 2.
Если мы попытаемся построить графики этих уравнений, они полностью наложатся друг на друга. Любая точка, лежащая на первой прямой, будет принадлежать и второй. Поэтому решений бесконечно много.
Система не имеет решений, когда прямые идут параллельно и никогда не встречаются. Это происходит, когда у них абсолютно одинаковый наклон (коэффициент k), но разные сдвиги (коэффициент b).
У нашей первой прямой k = -2 и b = 0,2. Мы оставим k таким же, а b заменим на любое другое число, например на 3. Получим уравнение: y = -2x + 3. Так как углы наклона одинаковые, а «высота» прохождения прямых разная, они никогда не пересекутся.
