Укажите какое-либо значение k, при котором система уравнений имеет единственное решение.
Система имеет единственное решение при любом .
Пусть k = 4:
(2/3; 5 2/3) — единственное решение системы при k = 4.
Ответ: k = 4.
Система линейных уравнений имеет одно решение, если графики этих уравнений (прямые) пересекаются. Это происходит тогда, когда их угловые коэффициенты (числа перед x) не равны друг другу.
Сначала выразим переменную y из обоих уравнений, чтобы увидеть структуру прямых:
Чтобы система имела единственное решение, эти прямые должны пересекаться. Пересечение гарантировано, если их наклоны разные. Значит, нам подходит любое значение k, кроме -2.
Для примера возьмем k = 4. Это число не равно -2, значит решение должно быть. Подставим его и решим систему методом сложения:
Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при x стали противоположными: -4x и 4x. Получим систему:
Складываем уравнения: 2y + y = 14 + 3. Получаем 3y = 17, откуда y = 5 целых 2/3.
Подставим найденный y во второе уравнение: 4x + 3 = 17/3. Тогда 4x = 17/3 - 9/3 = 8/3. Разделив на 4, находим x = 2/3.
Мы нашли конкретную точку пересечения (2/3; 5 2/3). Это подтверждает, что при k = 4 система действительно имеет единственное решение. В качестве ответа можно указать и любое другое число, кроме -2 (например, 0, 1 или 10).
