Номер 1191 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки:

а) $A (1; 2)$ и $B (- 2; 3)$ ;
б) $M (- 5; 0)$ и $K (2; - 1)$ .

Краткое решение

а) $A (1; 2)$ и $B (- 2; 3)$

y = k x + b

{2 = k \cdot 1 + b, 3 = k \cdot (- 2) + b

{2 = k + b, ∣ \times (- 1) 3 = - 2 k + b

{- 2 = - k - b, 3 = - 2 k + b (+)

{1 = - 3 k, 3 = - 2 k + b

{k = - \frac{1}{3}, b = 3 + 2 k

{k = - \frac{1}{3}, b = 3 + 2 \cdot (- \frac{1}{3})

{k = - \frac{1}{3}, b = 3 - \frac{2}{3}

{k = - \frac{1}{3}, b = 2 \frac{1}{3}

y = - \frac{1}{3} x + 2 \frac{1}{3}

Ответ : y = - \frac{1}{3} x + 2 \frac{1}{3} .

б) $M (- 5; 0)$ и $K (2; - 1)$

y = k x + b

{0 = k \cdot (- 5) + b, - 1 = k \cdot 2 + b

{0 = - 5 k + b, ∣ \times (- 1) - 1 = 2 k + b

{0 = 5 k - b, - 1 = 2 k + b (+)

{- 1 = 7 k, - 1 = 2 k + b

{k = - \frac{1}{7}, b = - 1 - 2 k

{k = - \frac{1}{7}, b = - 1 - 2 \cdot (- \frac{1}{7})

{k = - \frac{1}{7}, b = - 1 + \frac{2}{7}

{k = - \frac{1}{7}, b = - \frac{5}{7}

y = - \frac{1}{7} x - \frac{5}{7}

Ответ : y = - \frac{1}{7} x - \frac{5}{7} .

Подробное решение

📚 Теория: Линейная функция

Линейная функция задается формулой вида $y = k x + b$ , где $x$ — независимая переменная, $k$ и $b$ — некоторые числа.

Чтобы найти значения $k$ и $b$ , координаты точек $(x; y)$ , через которые проходит график, подставляют в уравнение функции, получая систему уравнений.

Для нахождения формулы линейной функции необходимо найти коэффициенты $k$ и $b$ .

Решение пункта а)

График проходит через точки $A (1; 2)$ и $B (- 2; 3)$ . Подставим координаты в общее уравнение $y = k x + b$ :

Для точки $A$ : $2 = k \cdot 1 + b \Rightarrow k + b = 2$ .
Для точки $B$ : $3 = k \cdot (- 2) + b \Rightarrow - 2 k + b = 3$ .

Решим систему уравнений методом сложения. Умножим первое уравнение на $- 1$ и сложим со вторым, чтобы исключить переменную $b$ :

- k - b + (- 2 k + b) = - 2 + 3 \Rightarrow - 3 k = 1 \Rightarrow k = - \frac{1}{3}

Найдем $b$ , используя первое уравнение:

b = 2 - k = 2 - (- \frac{1}{3}) = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3}

Искомая формула: $y = - \frac{1}{3} x + 2 \frac{1}{3}$ .

Решение пункта б)

График проходит через точки $M (- 5; 0)$ и $K (2; - 1)$ . Составим систему уравнений:

{0 = - 5 k + b - 1 = 2 k + b

Из первого уравнения выразим $b = 5 k$ и подставим во второе:

- 1 = 2 k + 5 k \Rightarrow 7 k = - 1 \Rightarrow k = - \frac{1}{7}

Найдем коэффициент $b$ :

b = 5 \cdot (- \frac{1}{7}) = - \frac{5}{7}

Искомая формула: $y = - \frac{1}{7} x - \frac{5}{7}$ .