Номер 745 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Верно ли, что при любых целых значениях $a$ и $b$ произведение $ab(a + b)(a - b)$ делится на $3$ ?

Краткое решение

Рассмотрим три случая:

1) Если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ делится на $3$ , то произведение $ab(a + b)(a - b)$ делится на $3$ .

2) Если ни $a$ , ни $b$ не делятся на $3$ и остатки одинаковые:

a = 3k + 1, \, b = 3p + 1

a - b = (3k + 1) - (3p + 1) = 3k - 3p = 3(k - p)

Разность делится на $3$ , значит и всё произведение делится на $3$ .

a = 3k + 2, \, b = 3p + 2

a - b = (3k + 2) - (3p + 2) = 3k - 3p = 3(k - p)

Разность делится на $3$ , значит и всё произведение делится на $3$ .

3) Если ни $a$ , ни $b$ не делятся на $3$ и остатки разные:

a = 3k + 1, \, b = 3p + 2

a + b = (3k + 1) + (3p + 2) = 3k + 3p + 3 = 3(k + p + 1)

Сумма делится на $3$ , значит и всё произведение делится на $3$ .

Ответ: Да, верно.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства делимости на 3

Любое целое число при делении на $3$ может давать в остатке $0$ , $1$ или $2$ . Чтобы произведение нескольких множителей делилось на $3$ , достаточно, чтобы хотя бы один из этих множителей был кратен $3$ .

Подробный разбор решения

Для доказательства утверждения необходимо рассмотреть поведение множителей $a$ , $b$ , $a + b$ и $a - b$ при различных остатках от деления на $3$ .

Анализ множителей

Если ни $a$ , ни $b$ не делятся на $3$ , то они могут давать остатки $1$ или $2$ .

Одинаковые остатки: В этом случае их разность $(a - b)$ всегда будет кратна $3$ , так как остатки при вычитании сократятся.
Разные остатки: Если одно число дает остаток $1$ , а другое $2$ , то их сумма $(a + b)$ даст остаток $1 + 2 = 3$ , что эквивалентно делению нацело на $3$ .

Таким образом, при любых целых значениях переменных хотя бы один из четырех множителей произведения обязательно делится на $3$ .